- •Множества и действия над ними.
- •Понятие отображения, образ и прообраз множества при отображении, суперпозиция отображений, сужение отображения, график отображения.
- •Сюрьективные, инъективные и биективные отображения. Обратное отображение.
- •Аксиома непрерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств.
- •10. Число e.
- •11. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •12. Лемма о вложенных отрезках.
- •18. Локальные свойства функций имеющих предел.
- •16. Предел функции: два определения и их эквивалентность. Теоремы о пределе функции, вытекающие из теорем о пределе числовой последовательности
- •21. Бесконечные пределы и пределы в бесконечности.
- •19.Теорема о пределе суперпозиции
- •23. Символы о-малое и о-большое, эквивалентные б.М. И б.Б.
- •24. Замечательные пределы
- •27. Точки разрыва функции и их классификация. Примеры: функция Дирихле и другие примеры
- •29. Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции.
- •30. Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях
- •Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно заметить, что
- •33. Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала
- •46. Условия монотонности функции.
- •47. Условия экстремума функции.
- •48. Условия выпуклости функции
- •51.Комплексные числа
- •14. Частичные пределы. Верхний и нижний пределы.
- •13. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченной последовательности.
- •28. Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.
- •40. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •39. Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций: теоремы Роля, Лагранжа и Коши.
51.Комплексные числа
Определение 1. Комплексными числами называются всевозможные упорядоченные пары вещественных чисел и , при этом для этих пар понятия равенства, суммы, произведения и отождествления некоторых пар с вещественными числами вводятся по следующим правилам (аксиомам):
I. (равенство к.ч.)
II. (сумма к.ч)
III. (произведение к.ч.)
IV. (отождествление некоторых к.ч с в.ч.)
Множество всех комплексных чисел обозначается буквой .
Комплексное число
называется противоположным к.ч.
называется обратным к к.ч.
частным от деления к.ч. на к.ч. называется к.ч.
Комплексное число
называется комплексно сопряженным к (для) к.ч.
.
+ .
К.ч. называется мнимой единицей и обозначается буквой
Запись к.ч. в виде
называется алгебраической формой записи этого к.ч
Такая форма записи к.ч. называется тригонометрической формой записи этого к.ч., при этом (заведомо неотрицательное) вещественное число называют модулем к.ч. и обозначают , а число называют аргументом к.ч. и обозначают .
14. Частичные пределы. Верхний и нижний пределы.
Определение 2. Число (или символ или ) называется частичным пределом последовательности , если оно (он) является пределом некоторой ее подпоследовательности. Из теоремы Больцано-Вейерштрасса следует, что всякая числовая последовательность (необязательно ограниченная) имеет хотя бы один (возможно бесконечный) частичный предел. Более того, можно показать, что множество всех частичных пределов всякой числовой последовательности имеет наибольший и наименьший элементы.Определение 3. Наибольший (соотв, наименьший) из частичных пределов ограниченной последовательности называется верхним (соотв., нижним) ее пределом.Верхний и нижний пределы обозначаются , соответственно, символами и Пример.Рассмотрим последовательность .Легко видеть, что , .
50.
Об основных понятиях.
–множество всех натуральных чисел ( N = {1, 2, 3, . . . } );
– множество всех целых чисел ( = {0, ±1, ±2, ±3, . . . } );
– множество всех рациональных чисел, Q = { x | x = p/q, р Z, q N };
– множества всех вещественных чисел.
множество вещественных чисел состоит из всех рациональных чисел и из всех иррациональных чисел. каждое рациональное число можно записать либо в виде конечной десятичной дроби либо в виде периодической бесконечной десятичной дроби
–каждое иррациональное вещественное число отождествляется с бесконечной непериодической десятичной дробью. Таким образом, можно сказать, что множество вещественных чисел это – множество всех десятичных дробей (как конечных, так и бесконечных).
Далее считается известным то, как во множестве вещественных чисел вводятся алгебраические операции сложения и умножения, а также обратные к ним операции вычитания и деления, соответственно; считаются известными также свойства этих операций.
Наконец, далее предполагается известным
а) как во множестве вещественных чисел вводятся отношения :
> - «больше», < - «меньше» ( ),
- «больше или равно» - «меньше или равно»;
и каковы свойства этих отношений;
б) что между множеством вещественных чисел и точками той или иной прямой можно установить взаимно-однозначное соответствие и, следовательно, множество вещественных чисел можно отождествить с прямой (поэтому оно часто называется числовой прямой).
Касаясь а) отметим только следующий факт: между любыми двумя различными вещественными числами лежит по крайней мере одно рациональное число ( таких, что , : ).
Напомним определения некоторых важных подмножеств числовой прямой . Пусть , . Множество
≜
называется отрезком или сегментом (при оно вырождается в точку); множество
≜
- интервалом (при оно пустое), а множества
≜
≜
- полуинтервалами (при они пустые). Каждое из этих четырех типов множеств называется также промежутком (первое из них иногда называется замкнутым интервалом, а второе – открытым интервалом). Аналогично определяются эти множества и когда . Далее иногда для нас будет неважно с каким из четырех указанных выше типов промежутков мы имеем дело – важно лишь будет, что его концами являются точки , . В таких случаях будем обозначать этот промежуток так: .
Напомним как вводится понятие абсолютной величины (или модуля) вещественного числа и каковы ее свойства. А именно,
Свойства модуля в.ч.
1о > 0 .
2o
3o .
4o .
5о .
Часто бывает удобно дополнить множество вещественных чисел элементами, обозначаемыми и , называемыми соответственно плюс бесконечностью и минус бесконечностью, при этом по определению считается, что
Множество вещественных чисел дополненное элементами и называется расширенным множеством вещественных чисел или расширенной числовой прямой и обозначается (т.о. ).