Входная информация
Понятие биквадратного уравнения.
Как найти корни биквадратного уравнения.
Пример
1. Решим уравнение
.
Решение. Введя
подстановку
,
получим уравнение:
.
Его дискриминант
,
D > 0. Следовательно,
.
Значит,
.
Так как y ≥ 0, то получим
одно уравнение:
.
Откуда
.
Ответ: -1 и 1.
Как
найти корни любого уравнения
.
Данное уравнение
подстановкой
сводится к решению квадратного уравнения.
Пример
2. Решим уравнение
.
Решение. Введя
подстановку
,
получим уравнение:
.
,
D > 0.
Тогда
.
Отсюда
или
.
Решая полученные уравнения, находим:
.
Ответ: -2; 3.
Практическая часть
Задание 1. Возьмите чистый лист бумаги и на нем запишите ответы ко в сем устным упражнениям, приведенным ниже.
Свои ответы сверьте с ответами или краткими указаниями, помещенными в конце учебного элемента в рубрике «Ваш помощник».
Устные упражнения
1. Решите уравнение:
а) х4 – 5х2 = 0; б) х4 + 6х2 = 0; в) 7х4 = 0; г) х4 + 3х2 + 1 = 0.
1. а) 0; ; б) 0; в) 0; г) Æ.
2. Сколько различных корней имеет уравнение х4 – 16 = 0 ?
2.Два корня.
3. Решите уравнение:
а) х4 – х2 + 2 = 0; б) х4 – 0,09х2 = 0.
3. а) нет решений; б) 0; –0,3; 0,3.
4. Уравнение х4 + 4х2 + 5 = 0 не имеет действительных корней. Почему этот вывод можно сделать не решая уравнения ?
4. х4 ³ 0, 4х2 ³ 0 и 5 > 0.
5. Имеет ли корни биквадратное уравнение 2х4 – 5х2 + 6 = 0 ?
5. Не имеет, поскольку Д = 25 – 4 × 2 × 6 < 0.
6. Почему биквадратное уравнение, имеющее корень, равный х0, имеет второй корень, равный –х0 ?
6. Поскольку
= а(–х0)4
+ b(–х0)2
+ с для любого х0.
С некоторыми видами следующих заданий вы могли встречаться на уроках математики. Самоопределитесь, какие из следующих заданий вам необходимо выполнить. В случае затруднений обращайтесь к рубрике «Ваш помощник», за консультацией к учителю или за помощью к товарищу.
Задание 2. Решите уравнение:
а)
;
г)
;
б)
; д)
;
в)
;
е)
.
Задание
3. Докажите, что уравнение
не имеет действительных корней.
Задание 4. Разложите на множители многочлен:
а)
;
б)
.
Задание 5. Сократите дробь:
а)
;
в)
;
б)
;
г)
.
Задание
6. Решите уравнения:
.
Найдите сумму и произведение корней каждого из данных уравнений и отметьте свойства корней биквадратных уравнений.
Задание
7. Докажите, что если число α
является корнем биквадратного уравнения
,
то корнем этого уравнения также является
число – α.
Задание
8. Составьте биквадратное
уравнение, если один из его корней равен
,
а другой
.
Задание
9. Зная, что
и
–корни уравнения
,
составьте биквадратное уравнение,
имеющее корни
.,
,
и
.
Задание
10. Докажите,
что уравнение
не имеет рациональных корней, если а
– целое число и а
≠ 2 .
Задание 11. Решите уравнение:
а)
;
б)
.
Рубрика «Ваш помощник»
1. а) 0; ; б) 0; в) 0; г) нет решений.
2.Два корня.
3. а) нет решений; б) 0; –0,3; 0,3.
4. х4 ³ 0, 4х2 ³ 0 и 5 > 0.
5. Не имеет, поскольку Д = 25 – 4 × 2 × 6 < 0.
6. Поскольку = а(–х0)4 + b(–х0)2 + с для любого х0.
УЭ- 8 . Решение уравнений, сводящихся к квадратным
Ваша цель: научиться решать уравнения. уравнения. сводящиеся к квадратным.