Практическая часть

Задание 0. Возьмите чистый лист бумаги и на нем запишите ответы на все устные упражнения приведенные ниже. Затем свои ответы сверьте с ответами или краткими указания, помещенными в конце этого учебного элемента в рубрике «Ваш помощник».

Устные упражнения

1. Сравните сумму квадратов двух неравных чисел и с их удвоенным произведением.

2. Докажите неравенство:

   1. ;

   2. ;

   3. ;

   4. .

3. Известно, что . Докажите, что .

4. Известно, что . Докажите, что .

Задание 1. Что больше:

а) 2 + 11 или 9; г) + или ;

б) или + ; д) – или ;

в) + или 2; е) + 2 или + ?

Задание 2. Докажите, что при любом действительном x имеет место неравенство:

а) 3(x + 1) + x – 4(2 + x) < 0; г) 4x² + 1 ³ 4x;

б) (x + 2)(x + 4) > (x + 1)(x + 5); д) ³ 2x;

в) (x – 2)² > x(x – 4); е) l + 2x⁴ > x² + 2x³.

Задание 3. Докажите, что:

а) x³ + 1 ³ x² + x, если x ³ –1;

б) x³ + 1 £ x² + x, если x £ –1.

Задание 4. Докажите, что если a ³ 0, b ³ 0, с ³ 0, d ³ 0, то

(a² + b²)(c² + d²) ³ (ac + bd)².

Задание 5. Докажите неравенство, выделив полный квадрат:

а) x² – 2xy + 9y² ³ 0;

б) x² + y² + 2 ³ 2(x + y);

в) 10x² + 10xy + 5y² + 1 > 0;

г) x² – xy + y² ³ 0;

д) x² + y² + z² + 3 ³ 2(х + у + z);

e) (x + l)(x – 2y + l) + y² ³ 0.

Задание 6. Докажите, что:

а) x² + 2y² + 2xy + 6y + l0 > 0;

б) x² + y² – 2xy + 2x – 2у + 1 > 0;

в) 3x² + y² + 8x + 4y – 2xy + 22 ³ 0;

г) x² + 2xy + 3y² + 2x + 6y + 3 > 0.

Задание 7. Докажите, что если n ³ k ³ 1, то k(n – k + 1) ³ n.

Задание 8. Докажите, что если 4а + 2b = 1, то a² + b² ³ .

Определите значения а и b, при которых имеет место равенство.

Задание 9. Докажите неравенство:

а) х³ + у³ ³ х²у + ху² при x ³ 0 и y ³ 0;

б) х⁴ + у⁴ ³ х³у + ху³ при любых x и у;

в) х⁵ + у⁵ ³ х⁴у + ху⁴ при x ³ 0 и y ³ 0;

г) хⁿ + уⁿ ³ х^n-1у + ху^n-1 при x ³ 0 и y ³ 0.

Задание 10. Верно ли, что:

а) если а²b ³ 0, то b ³ 0;

б) если а²b > 0, то b > 0?

Задание 11. Докажите неравенство:

а) < 2;

б) < 6.

Задание 12. Докажите, что:

а) … < ;

б) … < 0,01.

Задание 13. Докажите, что:

а) + + … + + > 4

б) + + + … + < 0,99;

в) + + … + < 0,999.

Задание 14. Что больше:

а) 127¹⁰ или 1025⁷; в) 3²⁰⁰ или 2³⁰⁰;

б) 53³⁶ или 36⁵³; г) 99²⁰ или 9999¹⁰?

Задание 15. Докажите, что при любом действительном х имеет место неравенство:

а) x¹² – x⁹ + x⁴ – x – 1 > 0;

б) x⁸ – x⁶ – 4x⁴ – x² – 1 > 0.

Рубрика «Ваш помощник»

К заданию 0. Ответы к устным упражнениям:

1. , так как .

2. а) ; б) .

3. .

4. Так как , то , но , значит, .

УЭ-3. Числовые промежутки

Ваша цель: знать определения, уметь обозначать и изображать на координатной прямой различные числовые промежутки; записывать промежутки, изображенные на координатной прямой, в виде неравенства, указывать числа, принадлежащие и не принадлежащие данному промежутку; находить пересечение и объединение промежутков и записывать их с использованием знаков .