Входная информация.
Решение
неравенств вида
,
где
и
выражения вида
и вместо знака < может стоять любой
из знаков
1.
.
2.
.
3.
.
Решение
неравенств вида
,
где
и
выражения вида
и вместо знака < может стоять любой
из знаков
1.
.
2.
.
Решение
неравенств вида
,
где
и
выражения вида
и вместо знака < может стоять любой
из знаков
.
Учимся решать неравенства с модулем. Ознакомьтесь с решением некоторых неравенств с модулем.
Пример. Решим неравенство:
|х – 4| < |x – 2|.
Решение. В силу свойства модуля |а| < |b| имеет место тогда и только тогда, когда а2 < b2 имеем:
(|x – 4| < |x – 2|) Û ((x – 4)2 < (x – 2)2) Û ((x – 4)2 – (x – 2)2 < 0) Û
Û (–2(2x – 6) < 0) Û (x – 3 > 0) Û (x > 3).
Заметим, что неравенство |ах + b| < |сх + d| равносильно неравенству (ах + b)2 < (сх + d)2.
Практическая часть
Задание 1. Возьмите чистый лист бумаги и на нем запишите ответы ко в сем устным упражнениям, приведенным ниже.
Свои ответы сверьте с ответами или краткими указаниями, помещенными в конце учебного элемента в рубрике «Ваш помощник».
1. Найдите множество решений неравенства:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
2. Решите неравенство:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
С некоторыми видами следующих заданий вы могли встречаться на уроках математики. Самоопределитесь, какие из следующих заданий вам необходимо выполнить. В случае затруднений обращайтесь к рубрике «Ваш помощник», за консультацией к учителю или за помощью к товарищу.
Задание 2. Решите неравенство:
а) |х – 3| ³ 2х + 1; в) |х – 2| < ;
б) |3х + 1| ³ 7х – 5; г) |х – 1| < .
Задание 3. Решите неравенство:
а) 2 |х + 1| > х + 4; в) 4 |х + 2| < 2х + 10;
б) 3 |х – 1| £ х + 3; г) 3 |х + 1| ³ х + 5.
Задание 4. Решите неравенство:
а) |х – 1| > |х + 3|; в) |х| > |2 – х|;
б) |х – 3| > |х – 5|; г) |х – 5| ³ |х|.
Задание 5. Решите неравенство:
а)
;
б)
.
Рубрика “Ваш помощник”
К заданию 1. Ответы на устные упражнения
1. а){-3;3};
д) (-
;+
);
б) (-
;+
);
е) (-
;0)
(0;+
);
в) (- ;0) (0;+ ); ж) (- ;0) (0;+ );
г) (- ;0) (0;+ ); з) (- ;+ ).
2. а) (- ;+ ); д) нет решений;
б) нет решений; е) [0;+ );
в) (- ;+ ); ж) нет решений;
г) нет решений; з) (- ;0].
К заданию 2.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
К заданию 3.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
К заданию 4.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
К заданию 5. а)
;
б)
.
Краткие исторические сведения о неравенствах
Понятие неравенства, как и понятие равенства, возникло в глубокой древности. Без понятий «больше» и «меньше» нельзя было осмыслить понятия равенства, тождества, уравнения. Ряд неравенств приводит в своем знаменитом трактате «Начала» Евклид. Он, например, доказывает, что верно неравенство , где , т. е. среднее геометрическое двух неотрицательных чисел не больше их среднего арифметического. В «Математическом собрании» Паппа Александрийского (III в.) доказывается, что если ( — положительные числа), то .
При этом все рассуждения проводились словесно с опорой в большинстве случаев на геометрическую терминологию. Современные знаки неравенства появились лишь в XVII — XVIII вв. Знаки < и > ввел английский математик Т. Гарриот (1560—1621). Символы и были введены в 1734 г. французским физиком и математиком Пьером Буге (1698—1758). Позже их стали записывать так: , .
Неравенства и системы неравенств широко используются как в теоретических исследованиях, так и при решении практических задач.