Описание случайных погрешностей и понятие доверительного интервала

Из математической статистики известно, что случайная величина полностью описывается законами распределения. Есть интегральный и дифференциальный законы распределения, причём дифференциальный закон используется чаще в технике.

Обозначения: P(X) – плотность распределения вероятности

Пример 1:

Пусть измеряемая величина – X

На практике используют числовые параметры законов распределения или моменты.

Моменты:

1. Математическое ожидание M(X)

2. Дисперсия D(X)

Оценка мат. ожидания – это среднее значение измеряемой величины X при достаточно большом числе измерений n.

где n – число измерений, x_i – значение случайной величины.

В качестве характеристики отклонения среднего используется дисперсия:

Из-за своей размерности (невозможно сравнить дисперсию и мат. ожидание, так как у одной размерность X², а у другого – X) дисперсия на практике заменяется среднеквадратическим отклонением:

Таким образом получаем СКО с размерностью измеряемой величины и мат. ожидание с той же размерностью.

В измерительной технике пользуются понятием доверительного интервала погрешности.

Определение

Доверительный интервал погрешности – это те значения погрешности, за которые не выходит погрешность измеряемой величины с вероятность P_Д .

1-Р_Д

Доверительный интервал погрешности с доверительной погрешностью Р_Д

Причём,

Вероятность Р_Д попадания погрешности в свой доверительный интервал обычна довольно высока и составляет: от 0,8 до 0,(9).

Коэффициент k зависит от выбора закона распределения величины и доверительной вероятности попадания погрешности в интервал.

35. Идея суммирования погрешности.

Идея:

Есть устройство

Вместо приведённой погрешности может, с равным успехом, быть и абсолютная и относительная.

Варианты развития событий:

1. Известны 𝛄_i и необходимо найти суммарную приведённую погрешность. Решается однозначно теоретическая задача.

2)Известна суммарная приведённая погрешность и необходимо найти погрешность каждого из блоков. Эта задача является реальной, такой, которая решается в современной технике. Однозначного решения этой проблемы нет.

Для решения задачи суммирования погрешностей вероятностным подходом, необходимо знать не только 𝛄_i , но и закон распределения 𝛄_i. Тогда, строится график закона распределения P(𝛄_Σ). Следует помнить, что при решении может произойти трансформация закона распределения.

Рассмотрим случай под номером один: тот, когда известны погрешности каждого блока устройства и необходимо найти суммарную погрешность.

Существуют два подхода для решения этой задачи:

1. а) Арифметическое сложение

б) Геометрическое сложение

в) Сложение с коэффициентом

В случае, если мы не знаем закон распределения, но хотим включить Р_Д , тогда можем воспользоваться особенностью: Новицким и Назаровым найдены два значения доверительной погрешности и коэффициента k,

при которых можно даже не задумываться о законе распределения – все они (законы) пересекаются в этих точках и, следовательно, любая гипотеза будет верна.

В случае, когда имеем несколько погрешностей (n>2), это уже многомерные измерения и это уже сложнее. Но даже при двух погрешностях возникают проблемы: даже при наличии двух погрешностей могут возникать трансформации суммарного закона распределения.

Пример:

При суммировании двух равномерных законов распределения, может получиться трапециальный закон на выходе. Вот так:

А зачем, собственно, вообще искать ? Известно, при определённом Р_Д = …

Коэффициент

Однако, на практике при суммировании погрешностей пользуются только . Выясняется, что от закона распределения не зависит и для двух элементов:

Для нахождения необходимо знать: . Коэффициент корреляции принимает любое значение между нулём и единицей (включительно, конечно).

При суммировании принимается следующее:

1. Либо r = 1 и тогда «сигма-один» и «сигма-два» жестко связаны между собой и тогда используем правило арифметической суммы:

2. Либо r = 0 и тогда «сигма-один» и «сигма-два» не связаны между собой и тогда используем правило геометрической суммы:

Это, конечно, хорошо, но главный вопрос: как понять, коэффициент корреляции равен нулю или равен единице.