9.9 Релятивистский импульс

В классической механике импульс определяется как . Импульс замкнутой системы частиц сохраняется во времени в любой ИСО.

Для замкнутой системы релятивистских частиц закон сохранения импульса в ньютоновской форме не выполняется. В этом можно убедиться на примере абсолютно неупругого удара двух одинаковых шаров массы m в системах К и К’. (Савельев, т.1, стр.233) Например, при неупругом соударении двух одинаковых по массе частиц, движущихся навстречу друг другу с одинаковой скоростью получим для К системы, что полный импульс системы до и после столкновения равен нулю, т.е. в К системе он сохраняется.

Рассмотрим то же соударение в К’ системе. По формуле преобразования скорости найдем для и для , а для скоростей шаров после соударения одинаковые скорости (по той же формуле), равные  . Значит суммарный импульс до соударения равен , а после: . Т.е., закон сохранения импульса не выполняется.

Возникает дилемма: либо отказаться от ньютоновского определения импульса, либо от закона сохранения импульса. Учитывая важнейшую роль законов сохранения, за фундаментальный закон в теории относительности принимают закон сохранения импульса и уже из него находят выражение для самого импульса.

Выражение для импульса находят в таком виде, чтобы закон сохранения был инвариантен по отношению к преобразованиям Лоренца. При этом при малых скоростях v  c релятивистское выражение для импульса должно переходить в ньютоновское .

Предполагают, что выражение для импульса частицы массы m в релятивистской механике должно иметь вид:

где - некоторая безразмерная функция скорости, -скорость, а - модуль скорости частицы. Очевидно, что при v  c функция практически равна единице. Требование выполнения закона сохранения импульса в любой ИСО и учет релятивистского преобразования скорости при переходе от одной ИСО к другой приводит к выводу, что импульс частицы должен зависеть от ее скорости более сложным образом:

.

При v  c это выражение переходит в ньютоновское определение импульса.

Этот импульс подчиняется закону сохранения во всех ИСО. Графики для релятивистской и ньютоновской механики показаны на рис. 9.6.

З акон сохранения импульса для системы из двух частиц со скоростями и имеет вид:

9.10 Основное уравнение релятивистской динамики

Cогласно принципу относительности Эйнштейна все законы природы должны быть инвариантны по отношению к ИСО. Т.е., математические выражения законов должны быть одни и те же во всех этих ИСО. Это относится и к законам динамики.

Однако, основное уравнение динамики Ньютона : не удовлетворяет принципу относительности Эйнштейна. Преобразования Лоренца при переходе к другой ИСО придают ему иную форму. Чтобы выполнить принцип относительности Эйнштейна, основное уравнение динамики должно иметь другой вид и только при v  c переходить в ньютоновское определение.

В теории относительности доказано, что этим требованиям отвечает уравнение: .

Оно по виду похоже на основное уравнение динамики Ньютона, однако, физический смысл здесь иной, т.к., слева стоит релятивистский импульс, если его подставить сюда, то:

Это есть основное уравнение релятивистской динамики.

В таком виде основное уравнение динамики оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца и, следовательно удовлетворяет принципу относительности Эйнштейна. При переходе к другой ИСО и импульс и сила преобразуются по определенным законам, т.е., они неинвариантны.

Из основного уравнения релятивистской динамики следует, что вектор ускорения частицы, в общем случае, не совпадает с вектором силы . Уравнение позволяет найти вид действующей на частицу силы, если известен вид . С другой стороны, если известна сила и начальные условия, и , то можно найти уравнение вижения частицы .

9.11 Кинетическая энергия релятивистской частицы

Эту величину определяют также как в ньютоновской механике, как величину, приращение которой равно работе действующей на частицу силы. Найдем вначале элементарное приращение энергии на элементарном пути под действием силы:

.

Подставив сюда выражение для силы из основного уравнения релятивистской динамики, получим:

.

После преобразований (см. Савельев, т.1, стр.238) получим:

, а после интегрирования: .

По смыслу кинетическая энергия должна обращаться в нуль при , отсюда

. Тогда релятивистское выражение для для кинетической энергии частицы имеет вид:

( )

При малых скоростях выражение в скобках можно разложить в ряд:

, тогда:

, т.е., переходит в ньютоновское определение.

9.12 Полная энергия релятивистской частицы

Кроме кинетической энергии свободная частица должна обладать дополнительной энергией равной:

Таким образом, полная энергия свободной частицы равна

или .

Это следует из того, что энергия является сохраняющейся величиной, а кинетическая энергия системы частиц при столкновении не сохраняется. Невозможно удовлетворить требованию сохранения энергии во всех ИСО, если не учитывать энергию покоя в составе полной энергии.

Кроме того, из выражения для полной энергии и релятивистского импульса можно образовать инвариант, т.е., величину, не изменяющуюся при преобразованиях Лоренца. Для этого из выражений для полной энергии ( ) и импульса ( ) необходимо исключить скорость. Тогда:

Масса и скорость света с являются инвариантными величинами.

Эксперименты над быстрыми частицами подтвердили инвариантность этого выражения.

9.13 Взаимосвязь массы и энергии

Кинетическая энергия частицы или тела есть не что иное, как разность значений полной энергией этой частицы (или тела) в двух состояниях: движении со скоростью и покоя:

.

Энергию покоя свободной частицы обычно называют ее собственной энергией: . Эта формула справедлива как для отдельной частицы, так и для любой системы частиц (ядра, атомы, молекулы, твердые тела и т.д.). Она выражает один из основных законов теории относительности- закона взаимосвязи массы и энергии.

Энергия покоя тела зависит от его состава и внутреннего состояния. Например, при нагревании тела его энергия покоя увеличивается. Одновременно с этим происходит возрастание массы тела, как того требует закон взаимосвязи массы и энергии: .

Закон взаимосвязи массы и энергии был надежно подтвержден в многочисленных экспериментах ядерной физики: в различных ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц.