9.7 Лоренцево сокращение

Допустим стержень АВ движется относительно К-системы отсчета со скоростью V и его длина в К’-системе, связанной со стержнем , собственная длина стержня. Найдем длину стержня в К-системе, рис 9.4.

Проведем мысленный эксперимент: на оси х К-системы сделаем метку М и установим часы, Зафиксируем по ним время пролета стержня мимо метки М. Тогда можно сказать, что длина стержня в К-системе:

Для наблюдателя К’системы, связанного со стержнем время пролета будет иным. Для него часы, показавшие время пролета , движутся со скоростью V, а значит, показывают “чужое время”. “Свое время” для него будет больше, он его найдет из выражения:

, где время

. Из этих уравнений .

Таким образом, продольный размер движущегося стержня оказывается меньше его длины, это явление называется лоренцевым сокращением. Форма тела, движущегося со скоростью Vc может характеризоваться как сплющенная в направлении движения. Степень сокращения длины зависит от V.

Таким образом, в разных ИСО длина стержня разная, другими словми, она оказывается относительной, имеющей смысл только по отношению к той либо другой системе отсчета. При V c длина тела приобретает абсолютный смысл.

Сокращение длины как и замедление времени взаимно, Оно является чисто кинематическим эффектом, в теле не возникает каких-либо напряжений и деформаций.

Лоренцево сокращение тел, как и замедление времени, представляют собой реальный и объективный факт, не связанный с какими-либо иллюзиями наблюдателя. Все значения размеров тела или промежутков времени, полученные в разных системах отсчета являются равноправными. Трудность понимания этого связана лишь с тем, что понятие длины и промежутков времени считают абсолютными, хотя в реальности это не так.

9.8 Преобразования Лоренца

Исходя из двух постулатов, Эйнштейн в 1905 г. вывел преобразования Лоренца (их формально нашел Лоренц годом ранее как преобразования, по отношению к которым уравнения электродинамики Максвелла сохраняют свой вид). Они связывают координаты и моменты времени одного и того же события в разных ИСО. В преобразованиях Галилея считается, что длина не зависит от движения тела и время течет одинаково в различных ИСО. В действительности это не так, поэтому необходимо найти преобразования, которые при V c переходили бы в преобразования Галилея.

Рассмотрим две ИСО, рис.9. 5.

Направим оси так, что оси х и х’ совпадают и параллельны вектору скорости V . Установим в обеих ИСО одинаковые часы и синхронизируем их: отдельно часы К-системы и К’- системы. За начало отсчета времени берут момент, когда их начала координат совпадали, значит . Предположим, что в момент времени (в К- системе) в точке с координатами x,y произошло некоторое событие А, вспыхнула лампочка. Найдем координаты x’ и y’ и момент времени этого события в системе К’.

Вопрос относительно y’ решен: y’ = y. Координата x’является собственной длиной отрезка О’Р неподвижного в К’. Его длина в К-системе, где отсчет производится в момент равна . Связь между этими длинами дается формулой

, значит

, откуда: . .

С другой стороны, координата x характеризует собственную длину отрезка ОР, неподвижного в К-системе. Его длина в К’- системе, где измерение проводится в момент времени равна . Учитывая, что , получим:

, откуда: . .

Формулы для координат позволяют установить связь между моментами времени и события А в обеих ИСО. Исключив координату, получим:

; .

Эти выражения называются преобразованиями Лоренца. Видно, что

они симметричны , что является следствием равноправия обеих ИСО. Различный знак обусловлен противоположным направлением движения систем К и К’ друг относительно друга;

они сильно отличаются от преобразований Галилея, но при V c переходят в них, значит, теория относительности не отвергает преобразования Галилея, а включает их как частный случай;

В преобразованиях Лоренца синхронизация часов производится с помощью световых сигналов, имеющих предельную (но конечную) скорость, а в преобразованиях Галилея – бесконечно большую. Из преобразований Лоренца видно, что при V  c подкоренное выражение становится меньше нуля и формулы теряют смысл. Это означает, что движение тел с такой скоростью невозможно. Даже при V=c знаменатель равен нулю. Значит, система отсчета не может двигаться с такой скоростью. Нельзя с фотоном связать систему отсчета, или нет ИСО, где бы фотон был бы неподвижен;

в формулы преобразований времени входит координата, что указывает на неразрывную связь между пространством и временем. Речь идет о едином пространстве- времени, в котором протекают все физические процессы.

Дифференцируя выражение для x по времени , а выражение для x' по времени , можно из преобразований Лоренца найти проекции скоростей тел в обеих системах К и К’:

, а . Тогда модуль скорости . Для проекции скорости в К системе:

(  ).

Это есть релятивистский закон преобразования скорости. Здесь нет простого сложения скоростей. Например, если , то из формулы (  ) следует,что . При , и , также .

При  c и  c выражения для проекций скоростей переходят в правило сложения скоростей Галилея.