1.2. Решение волнового уравнения методом связанных волн

Метод связанных волн является приближенным методом решения дифференциальных уравнений при изучении дифракции света в объемных голографических решетках. Он отличается от других, более строгих методов сравнительной простотой и возможностью доведения решения до численных результатов без применения сложного машинного счета.

П

Рис. 2.

рименим метод связанных волн к решению волнового уравнения (15). Будем исходить из упрощенной модели взаимодействия света с голографической решеткой (4), интерпретируя процесс дифракции как частичное отражение света от диэлектрических слоев, которые в грубом приближении можно считать своеобразными зеркалами. Поэтому в любой внутренней точке голограммы будут присутствовать в принятом приближении только падающая , и отраженная (дифрагированная) волны. Приближение связанных волн предполагает, что электромагнитные волны и удовлетворяют приведенным ниже требованиям.

1. Амплитуды волн и являются векторными комплексными функциями некоторой вещественной координаты z. В случае плоскопараллельного регистрирующего слоя ось Oz направлена перпендикулярно к его границам. При этом напряженности электрического поля волн и могут быть представлены в следующем виде:

;

,

где , – векторные комплексные функции, подлежащие определению с помощью решения волнового уравнения (15) и учитывающие влияние голографической решетки и затухание электромагнитных волн из-за поглощения;

; (16)

есть волновые векторы волн и ; – вещественная часть усредненного по пространству показателя преломления

(17)

регистрирующей среды после записи голограммы; , – единичные векторы волновой нормали.

1. Падающая волна удовлетворяет условию Брэгга

, (18)

где .

Для упрощения дальнейших расчетов предположим, что усредненный по пространству комплексный показатель преломления регистрирующей среды после записи интерференционной картины совпадает с показателем преломления регистрирующей среды до записи голограммы. Такое совпадение имеет место при выполнении равенства

(19)

При этом волновые векторы и распространяющихся внутри голограммы волн и совпадают с векторами и волн R и S, которые были использованы при записи, и удовлетворяют равенству

(20)

где – волновой вектор решетки, направленный перпендикулярно к плоскостям равной диэлектрической проницаемости .

Покажем, что равенство (20) эквивалентно условию Брэгга (18). Возведя это равенство в квадрат, получим

(21)

Учитывая, что , , а также расположение векторов и , (21) запишется в виде

, (22)

где – угол между векторами и .

Таким образом, векторное равенство (20) при одинаковой длине векторов и эквивалентно равенству (18), и его также называют условием Брэгга.

Предположим, что вектор падающей волны направлен перпендикулярно к плоскости. Такое же направление выберем и для вектора дифрагированной волны . Более строгое рассмотрение подтверждает справедливость сделанного выбора.

Для определения неизвестных скалярных функций R(z) и S(z) подставим суммарную напряженность электрического поля в толще голограммы без учета временного множителя

в волновое уравнение (15), заменив косинус полусуммой экспонент по формуле Эйлера . Мы опускаем в обозначениях волн , и волновых векторов и индекс 1, отличающий волны при восстановлении от волн при записи, так как в силу равенств (19), (20) и следствий из них сохранение этого индекса здесь и в дальнейшем нецелесообразно. Тогда волновое уравнение принимает вид

. (23)

, так как и от у не зависят. Тогда (23) примет вид

(24)

Вычислим отдельно производные и , предположив, что амплитуды R(z) и S(z) – медленно изменяющиеся функции, и поэтому :

(25)

где – проекции волновых векторов и на оси Ох и Oz соответственно. Подставив выражения (25) в волновое уравнение (24), получим

. (26)

Пренебрежем первым и четвертым слагаемыми в последних скобках уравнения (26) как не удовлетворяющими условию Брэгга (20), а во втором и третьем слагаемых в этих же скобках произведем замену , .

Для того чтобы равенство (26) выполнялось при любых значениях координат x, y, z, множители при и следует приравнять к нулю. В результате получим систему двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

. (27)

Учтем, что , . Тогда, разделив обе части уравнений (27) на коэффициенты при производных и , получим:

(28)

Упростив (28), получим:

(29)

Преобразуем коэффициенты, входящие в систему уравнений (29). Из соотношений (16) следует, что

. (30)

На основании равенства (17) для случая слабого поглощения ( , ) получим:

; (31)

.

Подставив значение (31) в соотношение (30), а соотношение (30) в выражения , , входящие в систему уравнений (29), найдем

.

Введем обозначения:

, (32)

используя которые, запишем систему уравнений (29) следующим образом:

. (33)

Частное решение системы (33) ищем в виде

, (34)

где , , – комплексные постоянные. Подставляя равенства (34) в систему уравнений (33) и сокращая , получаем:

. (35)

Исключение из системы уравнений (35) дает

. (36)

Так как случай соответствует тривиальному нулевому решению системы уравнений (33) и не представляет интереса, то из уравнения (36) вытекает квадратное уравнение

.

Найдем корни этого уравнения:

. (37)

С учетом выражения (37) общее решение системы уравнений (33) имеет вид:

, (38)

где , , , – комплексные постоянные, определяемые из граничных условий. Решение записано по аналогии с вследствие симметрии уравнений (33) относительно функций R (z) и S (z). Таким образом, получено общее решение (38) волнового уравнения (24) в приближении связанных волн.

Используя выражения (34) и (37), можно определить условия, при которых оправдано пренебрежение в волновом уравнении (24) вторыми производными по сравнению с первыми. Очевидно, что величину вторых производных надо сравнивать со слагаемыми, содержащими первые производные. Производной можно пренебречь при условии

. (39)

Поскольку из выражений (34) следует, что , , неравенство (39) можно переписать следующим образом:

или . (40)

С помощью выражений (37), а также определений, входящих в эти выражения величин (см. равенства (32)), легко убедиться, что при выполнении неравенств , , которые имеют место практически для всех регистрирующих сред, является очень малой величиной. Если учесть, что , где – угол, образованный вектором с осью Oz, то можно прийти к выводу, что для неравенство (40) удовлетворяется. На практике угол всегда значительно отличается от . Следовательно, при достаточно малом поглощении и небольшой глубине модуляции голографической решетки пренебрежение производной в волновом уравнении вполне оправданно. Аналогичные рассуждения могут быть проведены и для волны S.

На основании численных оценок и экспериментальных данных установлен критерий применимости приближения связанных волн к решению волнового уравнения. Это приближение приводит к удовлетворительным результатам при толщине регистрирующего слоя . Такое ограничение вытекает из критерия объемности голограмм. Для регистрирующих слоев толщиной , могут быть использованы результаты, полученные для плоских (тонких) голограмм.