- •7.1. Інтегральна сума. Визначений інтеграл як границя інтегральної суми.
- •7.2. Властивості визначених інтегралів.
- •7.3. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •7.4. Методи обчислення визначених інтегралів.
- •7.4.2 Інтегрування частинами.
- •7.4.3 Наближене обчислення визначених інтегралів.
- •7.5. Невласні інтеграли.
- •7.5.1. Невласні інтеграли з нескінченною границею.
- •7.5.3. Невласні інтеграли від необмежених функцій.
7.5.3. Невласні інтеграли від необмежених функцій.
Розглянемо необмежену функцію , задану у скінченному проміжку . Нехай обмежена й інтегровна у будь-якому проміжку та необмежена у кожному проміжку зліва від точки (). Точку називають у цьому випадку особливою точкою.
Границя інтеграла при (скінченна або нескінченна) називається невласним інтегралом функції від до і позначається:
. (7.17)
Якщо ця границя скінченна, то кажуть, що інтеграл (7.17) збігається, а функцію називають інтегровною у проміжку . Якщо ж границя (7.17) нескінченна або не існує, то про інтеграл кажуть, що він розбігається.
Геометрично інтеграл (7.17) при визначає площу криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції , прямими , та віссю .
Приклад 7.12. Дослідити на збіжність невласний інтеграл:
.
Розв’язок. Функція обмежена та інтегровна у будь-якому проміжку () і перетворюється у нескінченність при . Точка є особливою точкою.
.
Невласний інтеграл збігається і його значення дорівнює .
Аналогічно визначають невласний інтеграл, коли особливою точкою є нижня границя інтеграла (точка ) або точка , що лежить у середині інтервалу . В останньому випадку невласний інтеграл
.
Графік підінтегральної функції подано на рис. 7.7.
Застосування формули Ньютона-Лейбніца дозволяє одночасно з’ясувати збіжність невласного інтеграла і знайти його значення. Для цього необхідно, щоб первісна , що має усюди, виключаючи особливі точки, своєю похідною функцію , була сама неперервна у цих особливих точках.
Так, якщо у особливій точці існує границя , то невласний інтеграл (7.17) обчислюють за формулою
.
Приклад 7.13. Дослідити при яких значеннях параметра збігається невласний інтеграл
, (). (7.18)
Розв’язок. Точка є особливою. Інтеграл ()
при має границю , якщо , і скінченне число , якщо . Якщо ж , то
.
Отже, невласний інтеграл (7.18) при збігається, а при розбігається.
У більш складних випадках, холи первісна функція невідома, при з’ясуванні збіжності невласного інтеграла слід дослідити поведінку підінтетральної функції поблизу особливої точки
,
і скористатися теоремою порівняння, згідно з якою інтеграли та одночасно або збігаються або розбігаються.
Приклад 7.14. Дослідити збіжність інтеграла
.
Розв’язок. Точка є особливою:
.
Інтеграл розбігається (див. попередній приклад), отже, за теоремою порівняння, розбігається й інтеграл .
7.6. Застосування визначеного інтеграла.
Слід звернути увагу на схему, за якою у прикладних питаннях звичайно приходять до необхідності упровадження визначеного інтеграла при обчисленні тих чи інших величин.
Нехай деяка величина, що має властивість адитивності на інтервалі . Це означає, що, якщо проміжок складається з частин , , , , , , то величину можна подати сумою , де елемент величини відповідає проміжку . За величину можна, наприклад, взяти довжину, площу, об’єм (у геометричних застосуваннях), масу, роботу, заряд і т.ін. (у фізичних застосуваннях).
Покладаючи досить малими, знаходять для наближене значення, лінійне відносно :
, ().
Суму можна розглядати як інтегральну суму (див. розд.7.І) і, переходячи у ній до границі (), для величими отримують точний вираз у вигляді визначеного інтеграла
.
7.6.1. Обчислення площі плоских фігур.
а) Інтеграл
(7.19)
визначає (див. розд.7.І) площу криволінійної трапеції (рис.7.І), обмеженої кривою та прямими , , .
Якщо крива, що обмежує плоску фігуру, задана параметрично: ; ; , то, роблячи заміну змінної у інтегралі (7.19), одержимо:
, (7.20)
де ; .
Приклад 7.15. Обчислити площу фігури, обмеженої аркою циклоїди , ; (рис. 7.8)
Розв’язок. Згідно з формулою (7.20) маємо:
.
б) Нехай крива задана в полярній системі координат рівнянням , де неперервна функція при . Елемент площі , що відповідає інтервалу кутів буде
.
Тоді площа сектора в інтервалі кутів буде:
. (7.21)
Приклад 7.16. Знайти площу одного витка архімедової спіралі .
Розв’язок. Згідно з формулою (7.20) маємо:
.
в) Задача обчислення площі плоскої фігури, обмеженої двома кривими та (рис. 7.9), зводиться до обчислення інтеграла
, (7.21)
де, координати і точок і перетину даних кривих визначають розв’язуючи рівняння .
Приклад 7.17. Обчислити площу фігури, обмеженої параболами та .
Розв’язок. Покладаючи та і визначивши з рівняння абсциси точок перетину парабол і , згідно з формулою (7.22) одержимо:
.
Зробіть малюнок фігури, розглянутої у даному прикладі.
7.6.2. Обчислення довжини кривої.
а) Нехай плоска крива задана параметрично: ; ; , де функції і та їхні похідні неперервні.
Довжина дуги кривої визначиться інтегралом
, (7.23)
де , .
Приклад 7.18. Обчислити довжину однієї арки циклоїди , ; (див. рис. 7.8).
Розв’язок. Так як , . Тоді, згідно з формулою (7.23) маємо:
.
б) Нехай плоска крива задана рівнянням , де функція та її прохідні неперервні на відрізку . Обравши за параметр: , , з формули (7.23) одержимо
. (7.24)
Приклад 7.19. Знайти довжину дуги ланцюгової лінії на інтервалі осі абсцис.
Розв’язок. Так як , , то з формули (7.24) одержимо:
,
де гіперболічний синус; гіперболічний косинус.
в) Нехай плоска крива задана в полярних координатах рівнянням ; . Використовуючи зв’язок декартових координат з полярними
та, розглядаючи кут як параметр, з формули (7.23) маємо:
. (7.25)
Виведіть цю формулу.
Приклад 7.20. Знайти довжину кардіоїди , (рис. 7.10).
Розв’язок. Так як , , то, згідно з формулою (7.25) маємо:
г) Досі розглядались криві, що лежать у площині. Нехай просторова крива задана параметричними рівняннями ; ; ; , де функції , , та їхні похідні неперервні.
Довжина дуги кривої визначиться інтегралом
, (7.26)
де , , .
Приклад 7.21. Обчислити довжину гвинтової лінії , , ; .
Розв’язок. Так як , , , то, згідно з формулою (7.26) маємо:
.
7.6.3. Об’єм тіла обертання.
Нехай фігура обертається довкола осі . Об’єм тіла, утвореного обертанням фігури довкола осі (рис. 7.11) дорівнює:
.
.
Приклад 7.22. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням довкола осі фігури, обмеженої параболами та (рис. 7.12).
Розв’язок. Знаходимо точки перетину парабол:
.
Шуканий об’єм тіла обертанням буде дорівнювати:
,
тобто дорівнює різниці об’ємів тіл, утворених відповідно обертанням фігури та фігури .
7.6.4. Приклади фізичних застосувань визначеного інтеграла.
1) Робота змінної сили , що діє у напрямку осі на відрізку :
.
Приклад 7.23. Яку роботу треба виконати, щоб розтягнути пружину на , якщо відомо, що від навантаження вона розтягується на ?
Розв’язок. Згідно з законом Гука сила . Коефіцієнт знайдемо з умови: якщо , то , отже, і . Тоді
.
2) Знаходження статичних моментів та центра тяжіння плоскої фігури. Розглянемо плоску фігуру (рис.7.13), обмежену зверху кривою , яка задана рівнянням . Покладемо, що маса розподілена по данній фігурі рівномірно зі сталою поверхневою густиною (заради простоти вважаємо ). Статичні моменти і цієї фігури відносно осей координат визначаються інтегралами
, , (7.27)
а координати та центра тяжіння фігури формулами
, ,
де маса фігури
.
Приклад 7.24. Знайти статичні моменти , і координати , центра тяжіння фігури, обмеженої параболою , віссю та прямою .
Розв’язок. З того, що , за формулами (7.27) маємо:
, .
Оскільки
,
для координат центра тяжіння за формулами (7.28) знаходимо:
, .
Питання для самоперевірки.
-
Що називається інтегральною сумою? Побудуйте ескіз інтегральної суми для додатної функції.
-
Що називається визначеним інтегралом? Наведіть приклад.
-
Які функції називаються інтегровними? Наведіть приклади інтегровних функцій.
-
Сформулюйте властивості визначеного інтеграла при перестановці границь інтегрування.
-
Сформулюйте (з наведенням рисунків) наближені методи обчислення інтегралів. Який з них дає більшу точність?
-
Як оцінити похибку чисельного інтегрування?
-
Які властивості визначених інтегралів відображаються рівностями, а які нерівностями?
-
Сформулюйте теореми про середнє значення.
-
Що називається формулою Ньютона-Лейбніца?
-
Які властивості має інтеграл як функція верхньої границі?
-
Як зробити заміну змінної величини у визначеному інтегралі? Чи треба переходити до старої змінної величини?
-
Як робиться інтегрування частинами у визначеному інтегралі?
-
Як обчислюється площа криволінійної трапеції, обмеженої кривою, заданою в декартових координатах, параметрично і в полярних координатах?
-
Як обчислюється площа фігури, обмеженої двома кривими? Наведіть приклад.
-
Як обчислюється довжина дуги кривої, заданої в декартових координатах, параметрично і в полярних координатах?
-
Як обчислюється об’єм тіла обертання?
-
Які інтеграли звуться невласними?
-
Як застосовується формула Ньютона-Лейбніца при обчисленні невласних інтегралів?
-
Сформулюйте теореми порівняння. Як досліджується збіжність невласних інтегралів?
Л і т е р а т у р а: [4, гл. 6, § 6; 5, гл. 7, § 7.1-7.3; 6, гл. ХII, § 1-5].