- •7.1. Інтегральна сума. Визначений інтеграл як границя інтегральної суми.
- •7.2. Властивості визначених інтегралів.
- •7.3. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •7.4. Методи обчислення визначених інтегралів.
- •7.4.2 Інтегрування частинами.
- •7.4.3 Наближене обчислення визначених інтегралів.
- •7.5. Невласні інтеграли.
- •7.5.1. Невласні інтеграли з нескінченною границею.
- •7.5.3. Невласні інтеграли від необмежених функцій.
7.3. Формула Ньютона-Лейбніца.
Обчислення визначених інтегралів як границь інтегральних сум (див. розд. 7.1) вимагає значних зусиль. Застосування формули Ньютона-Лейбніца істотно спрощує задачу обчислення інтегралів.
Якщо функція інтегровна в проміжку , то вона інтегровна й у проміжку , де будь-яке значення з . Замінивши верхню границю визначеного інтегралу (7.1) змінною , одержимо інтеграл зі змінною верхньою границею:
. (7.5).
який, очевидно, є функцією від .
У формулі (7.5) змінну інтегрування позначено буквою . Слід пам’ятати, що змінну інтегрування можна позначити будь-якою літерою.
Якщо функція неперервна у точці , тоді у цій точці функція , визначена інтегралом (7.5), має похідну, що дорівнює :
. (7.6).
Приклад 7.1. Знайти похідну від визначеного інтеграла .
Розв’язок. Користуючись формулою (7.6), маємо:
.
З формули (7.6) витікає (див. розд. 6.1), що інтеграл у формулі (7.5) є первісною для функції , тобто
, (7.7).
де будь-яка первісна функції (), деяка стала.
Сталу знаходимо, вважаючи в формулі (7.7) та використовуючи формулу (7.2):
.
Звідси та з формули (7.7) маємо:
.
Вважаючи далі , одержимо основну формулу інтегрального числення:
, (7.8).
Приклад 7.2. Обчислити визначені інтеграли.
а) , б) , в) .
Розв’язок. Користуючись формулою (7.8), маємо:
а) , ();
б) , ();
в) , ().
Формула Ньютона-Лейбніца застосовується не тільки до неперервних функцій, але й до кусочно-неперервних функцій. При цьому інтервал інтегрування розбивають на частини точками розриву функції , потім подають інтеграл сумою інтегралів, згідно з властивістю (7.3) і до кожного з них застосовують формулу Ньютона-Лейбніца.
Приклад 7.3. Обчислити визначений інтеграл в залежності від верхньої границі на інтервалі , де
Розв’язок. При , маємо:
.
При , маємо:
.
Отже,
Л і т е р а т у р а: [4, гл. 6, §4, п. 2; 5, гл. 6, §6.4; 6, гл. ХI, §4].
7.4. Методи обчислення визначених інтегралів.
Встановлений формулою Ньютона-Лейбніца зв’язок між визначеним і невизначеним інтегралами дозволяє використовувати методи обчислення невизначених інтегралів (заміна змінної, інтегрування частинами). У тих випадках, коли точне обчислення інтегралів неможливе, удаються до методів наближеного обчислення.
7.4.1 Заміна змінної.
Нехай функція неперервна на відрізку . Вводячи нову змінну величину за рівністю , де
-
і неперервні на відрізку ;
-
, ;
-
визначена і неперервна на відрізку , отримаємо:
. (7.9)
Зауваження. При обчисленні визначеного інтеграла за формулою (7.9) не треба (на відміну від невизначеного інтеграла) повертатися до старої змінної величини.
Поряд з (7.9) можливий і такий варіант заміни змінної:
.
Вибір нової змінної інтегрування визначається ефективністю обчислення отриманого в результаті заміни змінної інтеграла.
Приклад 7.5. Обчислити визначений інтеграл .
Розв’язок. Обчислимо інтеграл, зробивши заміну змінної інтегрування.
Приклад 7.6. Обчислити визначений інтеграл .
Розв’язок. Обчислимо інтеграл, зробивши заміну змінної інтегрування.
.
При застосуванні формули заміни змінної у визначеному інтегралі треба: 1) визначити співвідношення між старою й новою змінними та їхніми диференціалами; 2) знайти границі інтегрування нової змінної величини.