- •1Случайное событие. Частота события.
- •3. Необходимые сведения из комбинаторики. Их использование при решении задач теории вероятности
- •4.Теорема сложения вероятнорстей(для независимых и зависимых событий)
- •5.Независимые события. Теорема умножения вероятностей.
- •6.Формула полной вероятности
- •7.Повторные независимые испытания. Схема и формула Бернулли
- •8.Понятие случайной величины.Закон распределения случайной величины.
- •9.Математическое ожидание дискретной случайной величины. Его свойства. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение дискретной случайной величины. Их свойства.
- •10.Непрерывная случайная величина Функция распределения случайной величины. Плотность распределения вероятностей. Их свойства.
- •15.Проверка статистических гипотез: критерий, уровень значимости.
- •3). Построение критерия проверки гипотезы.
- •15.Линейная регрессия.
- •1). Выборочная линейная среднеквадратическая регрессия.
9.Математическое ожидание дискретной случайной величины. Его свойства. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение дискретной случайной величины. Их свойства.
. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений:
.
Свойства математического ожидания
Свойство . Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной
.
Доказательство. Действительно, пусть случайная величина равна с вероятность . Тогда по определению математического ожидания:
.
Что и требовалось доказать.
Свойство . Постоянный множитель можно вносить за знак математического ожидания
, где .
Доказательство. Докажем для случайной величины , которая принимает конечное число значений . По определению математического ожидания:
.
Отсюда, вынося константу за знак суммы, получим:
.
Что и требовалось доказать.
Свойство . Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:
.
Доказательство. Докажем для математического ожидания величины, составленной из суммы двух случайных величин и , причем случайная величина , принимает конечное число значений , а случайная величина , принимает конечное число значений . Тогда математическое ожидание суммы двух величин и равно:
.
Попробуем разобраться с первой двойной суммой
.
В ней от значения не зависит внутренняя сумма, поэтому вынесем за знак этой суммы:
.
Событие, состоящее в том, что примет значение (вероятность этого события равна ), влечёт за собой событие, которое состоит в том, что примет значения
или или ,
а вероятности этих несовместных событий равны соответственно:
или или .
Тогда вероятность первоначального события равна (по теореме о сложении вероятностей несовместных событий):
.
Поэтому первая двойная сумма равна:
.
Последнее же равенство следует из определения математического ожидания.
Со второй двойной суммой поступим аналогично, но прежде заметим, что она не изменится, если поменять порядок суммирования:
(Это известное свойство можно проверить, расписав его для случаев или ). А далее (вдоль по проторенной тропе):
.
Поэтому окончательно получаем:
.
Что и требовалось доказать.
Свойство . Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
.
. Дисперсией случайной величины называется величина:
.
Дисперсия говорит о среднем квадрате отклонения от среднего.
Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется величина:
.
Среднее квадратическое отклонение говорит о среднем отклонении от среднего.
Для дискретной случайной величины дисперсия (естественно) имеет вид:
.
Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения вероятностей дисперсия имеет вид:
.
Свойства дисперсии
Свойство . Дисперсия постоянной величины равна нулю
.
Доказательство. Действительно, пусть случайная величина равна с вероятность . Поскольку тогда , то по определению дисперсии
.
Что и требовалось доказать.
Свойство . Постоянный множитель можно вносить за знак математического ожидания, но в квадрате
, где .
Доказательство. Используя определение дисперсии и свойство математического ожидания, получим:
.
Что и требовалось доказать.
Свойство . Дисперсия равна математическому ожиданию квадрата минус квадрат математического ожидания
.
Доказательство. Используя определение дисперсии и свойство математического ожидания, получим:
.
Поскольку математическое ожидание – суть константа, то по свойству , а затем по свойству математического ожидания, приходим к следующему:
.
Теперь, приводя подобные, получаем:
Что и требовалось доказать.
Свойство . Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
, если и - независимы.
Без доказательства (для заинтересовавшихся студентов это доказательство – повод повысить итоговую оценку).
Свойство . Дисперсия случайной величины ограничивает вероятность ее отклонение от своего математического ожидания (неравенство Чебышева П.Л.:.