БИЛЕТ 1
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
Прямая и плоскость в пространстве могут:
а) не иметь общих точек;
б) иметь ровно одну общую точку;
в) иметь хотя бы две общие точки.
На рис. 30 изображены все эти возможности.
В
случае а) прямая b параллельна плоскости
:
b ||
.
В
случае б) прямая l пересекает плоскость
в
одной точке О; l 
=
О.
В
случае в) прямая а принадлежит
плоскости
:
а
или а 
.
Теорема. Если прямая b параллельна хотя бы одной прямой а, принадлежащей плоскости , то прямая параллельна плоскости .
Предположим, что прямая m пересекает плоскость в точке Q.Если m перпендикулярна каждой прямой плоскости , проходящей через точку Q, то прямая m называется перпендикулярной к плоскости .
Трамвайные рельсы иллюстрируют принадлежность прямых плоскости земли. Линии электропередачи параллельны плоскости земли, а стволы деревьев могут служить примерами прямых, пересекающих поверхность земли, некоторые перпендикулярные плоскости земли, другие — не перпендикулярные (наклонные).
Б) Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве
Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.
Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарные. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.
Угол между прямой и плоскостью
Пусть прямая d - не перпендикулярна плоскости θ; d′− проекция прямой d на плоскость θ; Наименьший из углов между прямыми d и d′ мы назовем углом между прямой и плоскостью. Обозначим его как φ=(d,θ) Если d⊥θ , то (d,θ)=π/2
Oi→j→k→− прямоугольная система координат. Уравнение плоскости:
θ:Ax+By+Cz+D=0
Считаем, что прямая задана точкой и направляющим вектором: d[M0,p→] Вектор n→(A,B,C)⊥θ Тогда остается выяснить угол между векторами n→ и p→, обозначим его как γ=(n→,p→).
Если угол γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Если угол γ>π/2 , то искомый угол φ=γ−π/2
sinφ=sin(2π−γ)=cosγ
sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ
Тогда, угол между прямой и плоскостью можно считать по формуле:
sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap1+Bp2+Cp3∣ ∣ √A2+B2+C2√p21+p22+p23
Обзор элементарных функций y=sinx, y = cosx
Y = SIN X
а) Область определения: D (sin x) = R .
б) Множество значений: E (sin x) = [ – 1 , 1 ] . в) Четность, нечетность: функция нечетная.
г)
Периодичность:
функция периодическая с основным
периодом T = 2
.
д) Нули
функции:
sin x =
0 при x =
n, n 
Z.
е) Промежутки знакопостоянства:
; 
.
ж) Промежутки
монотонности:
;
.
з) Экстремумы:
; 
.
График функции y= sin x изображен на рисунке.
Y = COS X
а) Область определения: D (cos x) = R .
б) Множество значений: E (cos x ) = [ – 1 , 1 ] . в) Четность, нечетность: функция четная.
г) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = 2 .
д) Нули
функции:
cos x =
0 при x = 
+
n, n
Z.
е) Промежутки знакопостоянства:
;
.
. ж) Промежутки монотонности:
;
.
з) Экстремумы:
; 
.
График функции y= cos x изображен на рисунке.
Y = TG X
а) Область определения: D (tg x) = R \ { /2 + n( n Z ) }.
б) Множество значений: E (tg x ) = R . в) Четность, нечетность: функция нечетная.
г) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = .
д) Нули функции: tg x = 0 при x = n, n Z.
е) Промежутки знакопостоянства:
;
.
ж) Промежутки монотонности: функция возрастает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области определения.
з) Экстремумы: нет.
График функции y = tg x изображен на рисунке.
