- •Часть 1
- •1. Основные сведения из теории гироскопа 5
- •Введение
- •1. Основные сведения из теории гироскопа
- •1.1. Движение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной точки
- •1.2. Уравнения движения гироскопа
- •1.3. Основные свойства движения гироскопа
- •1.4. Гироскопический момент. Принцип д’Aламбера для гироскопа
- •1.5. Уравнения движения гироскопа в кардановом подвесе
- •1.6. Уравнения движения гироскопа во вращающейся системе коор-
- •1.7. Гироскоп как звено системы автоматического регулирования
- •2. Назначение гироскопических устройств и их основные типы
- •2.1. Задачи, решаемые гироскопическими устройствами
- •2.2. Основные элементы гироскопических приборов и устройств
- •2.3. Выходная информация акселерометра
- •2.4. Типы гироскопических устройств
- •3) Курсовертикали.
- •4) Гиростабилизаторы.
- •3. Гирогоризонты
- •3.1. Гирогоризонт и гировертикант
- •3.2. Невозмущаемый маятник
- •3.3. Гиромаятник. Гирогоризонт с коррекцией
- •3.4. Гирогоризонт с шулеровской коррекцией
- •4. Указатели курса и курсовертикали
- •4.1. Гироскоп Фуко 1-го рода
- •4.2. Маятниковый гирокомпас
- •4.3. Гирополукомпас
- •4.4. Курсовертикали
- •5. Гиростабилизаторы
- •5.1. Одно- и двухосные гиростабилизаторы
- •5.2. Трехосный гиростабилизатор
- •5.3. Понятие о гирокомпасировании
- •6. Измерители угловой скорости
- •6.1. Гиротахометр
- •6.2. Вибрационный роторный гироскоп
- •6.3. Гиротрон
- •7. Интеграторы угловой скорости
- •7.1. Гироскопический интегратор угловой скорости. Поплавковый интегри-
- •7.2. Динамически настраиваемый гироскоп
- •7.3. Волновой твердотельный гироскоп
- •8. Измерители параметров поступательного движения
- •8.1. Гироскопический интегратор линейных ускорений
- •8.2. Негироскопические измерители линейных ускорений
- •9. Оптические гироскопы
- •9.1. Принцип работы оптических гироскопов
- •9.2. Лазерный датчик угловой скорости
- •9.3. Волоконный оптический гироскоп
- •10. Гироскопические приборы и устройства космических летательных аппаратов
- •10.1. Особенности задач управления космическими летательными аппаратами
- •10.2. Гироорбитант
- •10.3. Гиродин
- •11. Опоры гироскопических приборов
- •11.1. Основные требования к опорам и их типы
- •11.2. Газо- и гидростатическая опоры
- •11.3. Электростатическая опора (подвес)
- •4 И корпус 5.
- •11.4. Магнитная опора. Криогенный гироскоп
- •Вопросы
1.4. Гироскопический момент. Принцип д’Aламбера для гироскопа
Если на гироскоп действует момент, то гироскоп, как было установлено, прецессиру- ет. Вместе с тем, согласно третьему закону Ньютона, гироскоп при прецессии должен соз- давать момент противодействия - момент, который равен по величине и противоположен по направлению внешнему моменту, вынуждающему гироскоп прецессировать.
Рассмотрим подробнее физическую природу упомянутого момента противодействия.
Обозначим j&
скорость вращения
колеса, r - радиус колеса, Jz - момент инерции колеса относительно оси z. Допустим теперь, что колесо помимо собственного вращения совершает вра- щение вокруг неподвижной оси x1, пер- пендикулярной z, со скоростью w (чтобы обеспечить это вращение,
необходимо, естественно, приложить усилие к оси колеса). Рассмотрим в этих условиях движение малого элемента колеса массой m, показанного на рис.6. Кроме скорости V rj& , обусловленной вращением колеса вокруг z, этот элемент вращается вокруг x1 с
угловой скоростью w и потому, как показывается в курсе теоретической механики, он
имеет кориолисово ускорение ak 2w
лельно оси z и равно по величине
V . Как нетрудно видеть, это ускорение парал-
ak 2rwj& sin
j p / 2 2rwj& co sj, (20)
где определяет положение рассматриваемого элемента на колесе, а + /2 есть вхо- дящий в векторное произведение угол между векторами w и v . Но если элемент дви- жется с ускорением, то он действует на обод с силой
f z ak m ,
равной по величине и противоположной по направлению той силе, которая, действуя со
стороны колеса, заставляет этот элемент двигаться с ускорением .
С учетом (20)
fz 2rwj&
m cosj . (21)
Эта сила имеет наибольшую вели-
- в точках на оси y1 (рис.7); при этом на
правой стороне колеса она направлена
за рисунок, на левой - на нас, вследст- вие чего создается момент вокруг оси y1. Найдем этот момент. Плечо силы
fz относительно оси y1 равно
l r cosj
и создаваемый ею момент
M г f z l 2r 2wj&
m cos2 j.
Определяя теперь суммарный момент, что сводится к интегрированию элементарной
функции, получим
или
M г 2r2wj& 2p
2p
1m cos2 jdj
0
mr2 j&w
M г J zj&w
H w . (22)
Таким образом, получен результат, который на первый взгляд кажется парадоксаль- ным: вращение раскрученного обода вокруг оси x1 приводит к возникновению момента с его стороны, действующего вокруг оси y1, перпендикулярной x1. Однако нетрудно обна- ружить, что этот результат находится в полном соответствии с предыдущими. Действи- тельно, колесо, воздействуя на опору (ось) с моментом Мг, вызывает реакцию в виде мо- мента М'г, равного по величине Мг и противоположно ему направленного. Именно под действием этого момента в соответствии со вторым свойством гироскоп (колесо) и пре- цессирует вокруг x1 с угловой скоростью w . Из изложенного, в частности, следует, что для того, чтобы раскрученный обод заставить вращаться вокруг оси x1, необходимо ли- шить его возможности вращаться вокруг оси y1 (в противном случае колесо просто раз- вернется вокруг этой оси, совместив ось собственного вращения с направлением w , т.е. с осью x1).
Момент Мг, определяемый в рассмотренном частном случае формулой (22), называется гироскопическим моментом. Он, как следует из изложенного, является инерционным моментом, обусловленным кориолисовым ускорением.
Для нахождения гироскопического момента в общем случае поступим следующим об- разом. Пусть M - внешний момент, под действием которого гироскоп прецессирует с угловой скоростью w .
Из основного равенства (3)
G M ,
с учетом того, что вытекает
G Hz o ,
H z&o M
. (23)
Но, как известно из курса теоретической механики, производная орта zo, вращающе-
гося с угловой скоростью w , равна
z&o w
z o .
или
Тогда (23) принимает вид
H w
z o M
w H M .
Наконец, поскольку M г
щую формулу
M , для гироскопического момента получаем следую-
M г H w .
Эта формула в частном случае, когда H перпендикулярен w , совпадает с ранее полу-
ченной формулой (22).
Изложенное позволяет сформулировать третье основное свойство гироскопа: при вращении оси гироскопа с угловой скоростью w возникает приложенный к опорам ги- роскопа гироскопический момент, равный
M г H
w , (24)
где Н - вектор кинетического момента гироскопа.
Как следует из формулы для M г , этот момент стремится совместить по кратчайшему пути вектор кинетического момента гироскопа с направлением скорости вращения оси гироскопа (правило Фуко).
Следует отметить, что величины гироскопических моментов могут быть весьма вели- ки. Это обусловливает необходимость их учета при расчете и подборе опор для быстро вращающихся роторов (двигатели, турбины и т.п.), размещаемых на подвижных объектах. Гироскопические моменты могут создаваться и специально для осуществления управле- ния объектами, о чем будет сказано ниже.
В заключение данного раздела, используя понятие гироскопического момента, рас- смотрим принцип Д’Aламбера применительно к гироскопу. Как известно, принцип Д’Aламбера является эффективным методом решения задач динамики механических сис- тем, давая возможность составлять уравнения движения систем в форме уравнений равно- весия, т.е. используя принципы статики. Достигается это введением фиктивных (т.е. ре-
ально не существующих) сил инерции. Согласно принципу Д’Aламбера сумма всех сил (моментов), приложенных к системе, и сил инерции (инерционных моментов) равна нулю. Так, если тело с массой m движется с ускорением a , испытывая действие силы F , то уравнение его движения можно записать в виде
F Fи 0,
где Fи
ma - сила инерции. Если тело с моментом инерции J относительно оси вра-
щается вокруг нее с ускорением e , испытывая действие момента M относительно оси, то уравнение его движения можно записать в виде
M M и 0, (25)
где M и
Je - инерционный момент.
Для записи принципа Д’Aламбера применительно к гироскопу используем основное
равенство (3)
G& M ,
представив кинетический момент G в виде суммы его основной составляющей
H Hz o и составляющей
G G H .
Из (3) следует
M H&
G& 0.
(26)
Но, как было показано выше,
H& H z&o M г,
поэтому (26) можно представить в виде
M M г
М ин 0 , (27)
аналогичном (25) и отличающимся от этого равенства лишь тем, что инерционный мо-
мент представлен в виде суммы его преобладающей составляющей, отражающей специ- фику гироскопа - гироскопического момента M г - и "обычной" для вращающегося тела составляющей М ин , обусловленной угловым ускорением, вид которой легко усматрива-
ется из уравнений (8) движения гироскопа (первые слагаемые в левых частях уравнений,
но взятые с противоположным знаком). Если в (27) последней составляющей пренебречь,
то получится уравнение
M M г 0, (28) записав которое в проекциях на оси x1 и y1 резалевой системы координат, мы получим уже рассматривавшиеся выше укороченные, или прецессионные уравнения движения гироскопа. Уравнение (28), как правило, и используется при выводе уравнений дви- жения гироскопических устройств в инженерной практике.