- •1 Понятие функции.
- •2 Предел последовательности.
- •3 Бесконечнобольшие(б.Б.) и бесконечномалые(б.М.) последовательности.
- •4. Предел функции.
- •5 Бесконечно большие(б.Б.) и бесконечно малые(б.М.) функции.
- •6 Основные теоремы о пределах.
- •8 Первый замечательный предел.
- •7. Сравнение бесконечно малых величин.
- •9. Непрерывность функций
- •10 Свойства функций, непрерывных в точке
- •11. Дифференцирование
- •13 Дифференцируемость функции
- •14 Правила дифференцирования.
- •15 Производные элементарных функций
- •16 Производная сложной функции
- •17 Производная обратной функции
- •18 Понятие дифференциала
- •19 Производная и дифференциал высших порядков
- •24 Правило Лапиталя
- •25 Монотонность функций.
- •26 Экстремумы функций.
- •28, 29 Направление выпуклостей и точки перегиба графика функций.
- •30 Асимптоты графика функций
- •Непрерывность функции 2-х переменных
- •36, 37 Частные производные
- •38Понятие дифференцируемости
- •40 Производные сложных функций
- •41 Дифференциал функции
- •42 Производная по направлению и градиент
- •43 Экстремум функции двух переменных
- •44 Условный экстремум
- •45 Минимум и максимум функции двух переменных
- •46 Неопределённый интеграл
- •47 Таблица основных интегралов
- •49 Метод подстановки
- •50 Метод интегрирования по частям
- •51 Определённый интеграл (определение, геометрический смысл)
- •55 Формула Ньютона-Лейбница.
- •52 Основные свойства определённого интеграла
- •54 Интеграл с переменным верхним пределом
- •56 Не собственный Интеграл с бесконечными пределами интегрирования
52 Основные свойства определённого интеграла
1) ; 2) ; 3) ;
4) ;
5) .
53 Теорема о среднем: если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то . Док-во: =по формуле Ньютона-Лейбница, разложим по формуле Лагранжа= F’(c)(b-a)=f(c)(b-a).
54 Интеграл с переменным верхним пределом
Рассмотрим интеграл . В данном интеграле нижний предел=const, а верхний предел – переменная. Величина этого интеграла является функцией зависящей от верхнего предела х, обозначим её как Ф(х) и этот интеграл назовём Интегралом с переменным верхним пределом.
Теорема Барроу: Производная от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т.е. .
56 Не собственный Интеграл с бесконечными пределами интегрирования
Определение: пусть функция y=f(x) определена на промежутке [a;) интегрируема по любому промежутку внутри этого интервала, т.е. существует . Тогда если существует предел , то он называется несобственным интегралом первого рода.
Замечание: если предел существует и конечен, то несобственный интеграл – сходящийся, если предел не существует или равен бесконечности, то интеграл – расходящийся.