- •1. Анализ вариации зависимой переменной в регрессии
- •2. Тест Дарбина – Уотсона некоррелированности случайных возмущений в схеме Гаусса – Маркова
- •3. Метод имитационного моделирования. Исследование последствий нарушения условий теоремы Гаусса – Маркова
- •4. Анализ вариации зависимой переменной в регрессии
- •5. Коэффициент детерминации как мера качества спецификации эконометрической модели
- •6. Компьютерное моделирование эконометрических систем
- •8. Процедура точечного прогнозирования по оцененной линейной эконометрической модели парной регрессии значений эндогенной переменной
- •9. Интервальное прогнозирование по оцененной линейной эконометрической модели парной регрессии значений эндогенной переменной
- •10. Множественная линейная регрессионная модель. Оценивание параметров множественной регрессии методом наименьших квадратов
- •11. Определение границ доверительных интервалов точечных оценок множественной регрессионной модели
- •12. Оценивание параметров модели взвешенным методом наименьших квадратов
- •13. Модель Марковица
- •14. Определение границ доверительного интервала прогноза зависимой переменной
- •15. Проверка гипотез относительно коэффициентов парной регрессии
- •16. Автокорреляция случайного возмущения
- •17. Гетероскедастичность случайного возмущения
- •18. Система нормальных уравнений и явный вид ее решения при оценивании методом наименьших квадратов линейной модели множественной регрессии
- •19. Модель парной регрессии. Границы доверительных интервалов
- •20. Гетероскедастичность случайной компоненты. Тесты на наличие гетероскедастичности
- •21. Автокорреляция случайной составляющей. Тесты на наличие автокорреляции
- •22. Спецификация и преобразование к приведенной форме динамических моделей. Лаговые и предопределенные переменные динамической модели
- •23. Уточнение эконометрических моделей путем датирования переменных
- •24. Парная регрессия. Оценивание параметров методом наименьших квадратов
- •25. Тест Голдфелда–Квандта гомоскедастичности случайных возмущений в схеме Гаусса – Маркова
- •26. Дисперсионный анализ в парной регрессии
25. Тест Голдфелда–Квандта гомоскедастичности случайных возмущений в схеме Гаусса – Маркова
Тест Голдфелда-Квандта предназначен для проверки предпосылки
Var(u1)=Var(u2)=…=Var(un)= Ϭ2 теоремы Гаусса-Маркова о гомоскедастичности случайного остатка в модели y=a0+a1x1+a2x2+…+akxk+u (1)
E(u | x)=0, E(u2 | x)= Ϭu2
т.е. для проверки статистической гипотезы о равенстве дисперсий случайных остатков в уравнениях наблюдений y = X a + a :
H0 : Var(u1)=Var(u2)=…=Var(un)= Ϭ2 (2)
Неадекватность гипотезы (2) порождает негативные для МНК-оценок
a =f ⃰ (X, y )=f МНК(X, y )=M(X) y =(XTX)-1XT y
u12 + u22 + … + un2
Ϭu2 = n – ( k + 1) определённые последствия.
Рассмотрим алгоритм теста (статистической процедуры) Голдфелда-Квандта, а затем проведём его обоснование. Тест Голдфелда-Квандта реализуется в итоге следующих шагов.
Шаг 1. Уравнения наблюдений объекта y = X a + a следует упорядочить по возрастанию суммы модулей значений предопределённых переменных модели (1), т.е. по возрастанию значений
z1 = |x1i| + |x1i| +…+ |x1i| (3)
Замечание. В этот пункт процедуры Голдфелда-Квандта заложена естественная предпосылка, что возможная гетероскедастичность случайного остатка в модели (1), т.е. зависимость его условий дисперсии Var(u) = E(u2 | x) от объясняющих переменных модели, имеет специальный вид:
E(u2 | x) = f(|x1|+|x2|+…+|xk|) = f(z), (4)
Причём функция f(z) является либо возрастающей, либо убывающей. Нужно подчеркнуть, что если случайный остаток гомоскедастичен, то любая зависимость Var(u) = E(u2 | x) от x, а частности зависимость (4), отсутствует. Добавим, что после вычисления в отдельном столбце листа Excel величин (3) упорядочение уравнений наблюдений y = X a + a осуществляется командой «Сортировка по возрастанию» из категории «Данные».
Шаг 2. По первым n′ упорядоченным уравнениям наблюдений объекта (где n′ удовлетворяет условиям
k+1 < n′, n′ ≈ 0,3n, (5)
k+1 – количество оцениваемых коэффициентов функции регрессии) вычислить МНК-оценки параметров модели и величину n′
ESS1 = ∑ ui2, (6)
i=1
где
ui = yi – yi = yi – (a0 +a1x1i + … + akxki) - (7)
МНК-оценка случайного возмущения ui.
Замечание. Напомним, что функция ЛИНЕЙН Excel размещает величину ESS в ячейке Bn+5, т.е. во втором столбце последней строки выделенного массива.
Шаг 3. По последним n′ упорядоченным уравнениям наблюдений вычислить МНК-оценку параметров модели и величину ESS, которую обозначим ESS2.
Шаг 4. Вычислить статистику
ESS1
GQ = ESS2 (8)
Шаг 5. Задаться уровнем значимости ɑ и с помощью функции FРАСПОБР Excel при количествах степеней свободы ʋ1, ʋ2, где
ʋ1=ʋ2= n′ - (k+1),
определить (1- ɑ)-квантиль, Fкрит=F1-ɑ распределения Фишера.
Шаг 6. Принять гипотезу (2), если справедливы неравенства
GQ ≤ Fкрит (9)
GQ-1 ≤ Fкрит
т.е. при справедливых неравенствах (9) случайный остаток в модели (1) полагать гомоскедастичным. В противном случае гипотезу (2) отклонить как противоречащую реальным данным и сделать вывод о гетероскедастичности случайного остатка в модели (1).
Замечание. Обсужденный выше тест корректен в ситуации, когда случайные остатки в уравнениях наблюдений y = X a + a распределены по нормальному закону и все другие предпосылки теоремы Гаусса-Маркова справедливы.
Проведём обоснование теста Голдфелда-Квандта. Если вектор случайных остатков в уравнениях наблюдений имеет нормальный закон распределения и все предпосылки теоремы Гаусса-Маркова справедливы, то согласно
величины ESS1 и ESS2 являются случайными переменными и распределены (с точностью до множителя Ϭu2) по закону хи-квадрат с количеством степеней свободы n′-(k+1). Кроме того, согласно предпосылке
Cov(ui,uj)=0, i≠j
эти переменные независимые. Значит, и статистика (8), и обратная к ней величина GQ-1 являются случайной переменной и имеют распределение Фишера с количествами степеней свободы ʋ1, ʋ2. Следовательно, критерием гипотезы (2) может служить множество
Z[H1]=( F1-ɑ, +∞). (10)
Если величина GQ (или величина GQ-1) попадает в множество (10), то гипотезу (2) следует отклонить в пользу альтернативной гипотезы
H1=H0, (11)
Представляющей отрицание гипотезы (2), т.е. означающей гомоскедастичность случайного остатка в модели (1). Второе условие (приближенное равенство) в (5) обеспечивает максимальную мощность критерия (9).