6. Вопрос Определение колебаний.

Колебаниями называются движения или процессы, которые полностью или почти полностью повторяются через равные промежутки времени. Колебания, описываемые уравнением

 ,

где x – смещение колеблющийся величины от положения равновесия; w - циклическая частота, определяющая число колебаний, совершаемые за время 2 π секунд;t - время.

называют гармоническими.

Графический метод сложения колебаний. Векторная диаграмма. Методом вращающегося вектора амплитуды.

Метод вращающегося вектора амплитуды заключается в представлении гармонического колебания с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление образует с осью x угол, равный начальной фазе колебаний называют методом вращающего вектора амплитуды.

Гармонические колебания одинакового направления и частоты удобно складывать, изобразив колебания в виде векторов на плоскости - графически.

 1). Выберем некоторую направленную прямую - ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся величину x .

2). Из взятой на оси некоторой точки О отложим направленный отрезок - вектор длины A, образующий с осью угол некоторый α .

3). Вращая вектор А вокруг точки О с угловой скоростью ω ₀ , получим, что проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени: проекция конца вектора будет перемещаться по оси x, принимая значения от - А до + A , а координата этой проекции будет изменяться со временем по закону

Схему, полученную таким методом представления колебаний, называют векторной диаграммой .

 

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Рассмотрим две взаимно перпендикулярные векторные величины x и y , изменяющиеся со временем с одинаковой частотой ω по гармоническому закону:

  (1)

Где e _x и e _у — орты координатных осей x и y, А и B — амплитуды колебаний. Величинами x и у может быть, например, смещения материальной точки (частицы) из положения равновесия.

В случае колеблющейся частицы величины x и y можно представить в виде:

 ,  (2)

Они определяют координаты частицы на плоскости xy.

Выражения (2) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение траектории, по которой будет двигаться частица. Вид траектории зависит от разности фаз обоих колебаний.

Исключив из уравнений (2) параметр t, получим уравнение траектории в обычном виде. Из первого уравнения:  (3). Соответственно  (4)

По формуле для косинуса суммы:

 , тогда

Преобразуем это уравнение

 (5)

Получили уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей х и у.Ориентация эллипса и его полуоси зависят довольно сложным образом от амплитуд A и В и разности фаз α .

Сложение колебаниё одного направления и одинаковой частоты.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний х ₁ и x ₂ одного направления и одинаковой частоты:

 ,  (1)

Оба колебания представим с помощью векторов A ₁ и А ₂ . Используя правила сложения векторов можно найти результирующий вектор А, представляющий собой сумму двух векторов A ₁ и А ₂ .

 Вектор A представляет собой результирующее колебание, потому что из рисунка видно, что проекция этого вектора на ось x равна сумме проекций складываемых векторов:

Вектор A вращается с той же угловой скоростью ω ₀ , как и векторы А ₁ и А ₂ , так что сумма x ₁ и х₂ является гармоническим колебанием с частотой (ω ₀ , амплитудой A и начальной фазой α . Используя теорему косинусов получаем, что

 

 (2)

 (3)

Замена сложения функций сложением векторов, которая возможна при Представление гармонических колебаний с помощью векторов, значительно упрощает вычисления.