Питання до екзамену з математичного аналізу для студентів 1 курсу спеціальності 7.080101 математика (1 семестр). Частина 1

1. Множини і операції над ними. Властивості операцій над множинами. Закони двоїстості.

2. Загальне поняття функції (відображення). Образ, прообраз множини при відображенні. Сюр’єктивні, ін’єктивні, бієктивні (взаємно однозначні) відображення. Поняття зворотного відображення. Поняття графіка функції.

3. Розбиття на класи. Відношення еквівалентності. Необхідні і достатні умови розбиття множини на класи.

4. Еквівалентні (рівнопотужні) множити. Приклади. Взаємно однозначна відповідність між [0,1] i (0,1].

5. Принцип повної математичної індукції.

6. Поняття зчисленної множини. Критерій зчисленності множини. Теореми про існування зчисленної множини у будь-якій нескінченній множині, про зчисленність будь-якої нескінченної підмножини зчисленної множини.

7. Теореми про об’єднання скінченної або зчисленної кількості зчисленних множин і про зчисленне об’єднання зчисленних множин.

8. Теорема про потужність об’єднання нескінченної та зчисленної множин. Теорема про потужність різниці незчисленної і не більш, ніж зчисленної (скінченної або зчисленної) її підмножини та наслідок з неї. Означення нескінченної множини.

9. Теорема про потужність множини раціональних чисел і наслідок з неї. Множина алгебраїчних чисел і її потужність.

10. Теорема про потужність множини, яка визначається скінченною кількістю значків, кожен з яких приймає зчисленну кількість значень. Потужність скінченного прямого добутку зчисленних множин.

11. Числова вісь і нескінчені десяткові дробі. Теорема про незчисленність відрізка [0,1].

12. Потужність континуума. Потужність будь-якого відрізка, півінтервала, інтервалу. Потужності множин усіх дійсних чисел, ірраціональних чисел.

13. Теорема про потужність об’єднання скінченної або зчисленної кількості множин потужності континуум.

14. Теорема про потужність множини, що визначена скінченною кількістю значків, кожен з яких пробігає множину потужності континуума. Потужність скінченного прямого добутку множин потужності континуума.

15. Теорема про потужність множини, що визначена зчисленною кількістю значків, кожен з яких пробігає множину потужності континуума.

16. Потужність континуального об’єднання континуальних множин.

17. Порівняння потужностей. Приклади. Теорема про потужність множини усіх підмножин даної множини.

18. Теорема про проміжну множину.

19. Теорема Е.Шрьодера-Ф.Бернштейна.

20. Трихатомія упорядкування потужностей множин. Транзитивність упорядкування потужностей множин.

21. Множина натуральних, цілих і раціональних множин.

22. Множина раціональних чисел і її властивості. Зображення раціональних чисел на числовій прямій

23. Упорядкування множини нескінченних десяткових дробів. Коректність означення упорядкування.

24. Упорядкування множини нескінченних десяткових дробів. Транзитивність упорядкування нескінченних десяткових дробів.

25. Множини нескінченних десяткових дробів обмежені зверху (знизу). Верхня, нижня, точна верхня, точна нижня межі множин нескінченних десяткових дробів. Теорема про існування точних меж.

26. Наближення дійсних чисел раціональними (три леми).

27. Операція додавання нескінченних десяткових дробів. Теореми про існування і єдиність суми двох нескінченних десяткових дробів.

28. Операція добутку нескінченних десяткових дробів. Теорема про існування і єдиність добутку нескінченних десяткових дробів.

29. Множина дійсних чисел і її властивості (довести будь-які дві з властивостей 5-16).

30. Основні числові нерівності з модулями. Деякі конкретні множини числової прямої (сегмент, інтервал, півсегмент, числова пряма, півпрямі відкриті і замкнені, -окіл точки, окіл точки), щільні в собі множини.