Алгоритм моделирования простейшей смо

Начало

Шаг1. Ввод параметров: X, Lmax, A, B;

Шаг 2. Задание начальных условий;

Шаг 3. Определение момента ближайшего события T=min(TS);

Шаг 4. Если T=TS[1], то выполнить процедуру "Приход запроса" (event1() ), иначе выполнить процедуру "Окончено обслуживание"(event2() );

Шаг 5. Если объем выборки недостаточен, то перейти на шаг 3;

Шаг 6. Итоговая обработка данных;

Конец.

Текст возможной версии программы на языке Pascal для этого алгоритма приведен ниже.

Program model1;

uses Printer;

const Tmax=1.0e28;

Var

T,k,sto,stq,x,a,b,h,Potk,r,w:real;

L,Lmax,n,Z,i,j:integer;

Tq:array[1..10] of real;

TS:array[1..2] of real;

function expon(x:real):real;

begin

expon:=-x*ln(1.0-Random)

end;

function unfrm(a,b:real):real;

begin

unfrm:=a+Random*(b-a)

end;

procedure event1;

begin

T:=TS[1];

i:=i+1;

TS[1]:=T+expon(x);

if L=Lmax then k:=k+1

else

begin

if Z=0 then begin Z:=1; h:=unfrm(a,b); TS[2]:=T+h;

sto:=sto+h

end

else begin L:=L+1; Tq[L]:=t;

end;

end;

end;

procedure event2;

begin

T:=TS[2];

if L=0 then begin Z:=0; TS[2]:=Tmax

end

else begin L:=L-1; h:=unfrm(a,b);

TS[2]:=T+h; sto:=sto+h;

stq:=stq+(T-Tq[1]);

for j:=1 to L do Tq[j]:=Tq[j+1]

end;

end;

Begin (*-------- main program -----------*)

k:=0.0; n:=1000;

Z:=0; l:=0; i:=0; T:=0.0; a:=50.0; b:=120.0; Lmax:=5;

sto:=0.0; stq:=0.0;

writeln(' x= ? '); readln(x);

TS[1]:=0.0; TS[2]:=Tmax;

(* --------- монитор ------------- *)

while i<n do

if TS[1]<TS[2] then event1

else event2;

(* ------------------------------- *)

writeln(lst,' * --- Report --- *') ;

writeln(lst,'x=',x,'a=',a:8:3,'b=',b:8:3,'Lmax=',Lmax);

Potk:=k/n; r:=sto/T; w:=stq/(n-k);

writeln(lst,' Potk=',Potk:10:6,' r=',r:10:6,' w=',w:10:6);

end.

Варианты заданий к лабораторной работе №1

Вариант 1. В зале торгового центра имеется три кассы. Покупатели подходят в кассу с интервалом времени, распределенным по закону Пуассона с интенсивностью 150 чел./час. Покупатель, закончив выбор покупок, направляется к свободной кассе или становиться в кратчайшую из трех очередей. Время обслуживания кассиром одного покупателя имеет нормальное распределение со средним значением 1 мин. и среднеквадратическим отклонением 11с. Обслуживание покупателей в очереди кассиром происходит по принципу FIFO. Получить набор статистических показателей: коэффициенты загрузки кассиров, среднее время ожидания в очереди; среднюю и максимальную длину очереди; вероятность того, что покупателю придется ждать обслуживания более 3 мин и др.

Вариант 2. Объектом моделирования выступает процесс обслуживания студентов в студенческой столовой. Интервал прихода студентов, желающих пообедать, распределен по экспоненциальному закону со средним значением 1 мин., среднеквадратическим отклонением 20 сек., закон распределения – нормальный. Если студент приходит в зал и видит, что раздатчицы в это время обслуживают других студентов, то он становится в очередь.

Упрощенно будем считать, что каждый студент заказывает все три блюда: первое, второе, третье. Обслуживание производится в три этапа: сначала студенты заказывают первые блюда, затем вторые, после чего третьи. Очереди могут скапливаться перед каждым этапом обслуживания.

Время отпуска первых блюд Т1– случайная величина, распределенная по равномерному закону на интервале [10.3]мин. На раздаче первых блюд стоят 2 раздатчицы.

Время отпуска вторых блюд Т2– случайная величина, распределенная по равномерному закону на интервале [20.8]мин. На раздаче вторых блюд стоят 3 раздатчицы.

Время отпуска третьих блюд Т3– случайная величина, распределенная по равномерному закону на интервале [0.50.1]мин. На раздаче третьих блюд стоят 2 раздатчицы.

Получить набор статистических показателей: среднее время ожидания клиентов в очереди, коэффициенты загрузки станков и т.д Определить будет ли вышеописанная система обслуживания обладать требуемой пропускной способностью: среднее время ожидания в очереди перед каждым этапом обслуживания не должно превышать 1 мин.

Определить как следует перераспределить сотрудниц столовой на разных этапах обслуживания, чтобы суммарное среднее время ожидания в трех очередях было минимальным. Т.е. попробовать различные схемы обслуживания. Исходный вариант 2 -> 3 -> 2. Попробовать, например, такие схемы:

• 2 -> 4 -> 2;

• 2 -> 4 -> 1;

• 1 -> 5 -> 1.

Если ни одна из вышеперечисленных схем не будет удовлетворять заданному критерию (среднее время ожидания в очереди перед каждым этапом обслуживания не должно превышать 1 мин.), то определить, какой из этапов является критическим и сколько дополнительных сотрудников требуется поставить для обслуживания на этом этапе.

Вариант 3. Кредитная организация занимается кредитованием физических лиц. Процесс оформления кредита включает три этапа (прием документов и проверка правильности оформления, проверка достоверности заявленных данных, скоринговая оценка кредитоспособности клиента и принятие решения о выдаче кредита), которые выполняются специалистами трех разных отделов кредитной организации.

Интервал прихода клиентов – случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону с математическим ожиданием 1,5часа.

Продолжительность обработки документов на трех вышеперечисленных этапах – случайные величины, распределенные по следующим законам:

• Т1, нормальный закон, мат. ожидание – 1,5 часа, среднеквадратическое отклонение – 0,5 часа;

• Т2, нормальный закон, мат. ожидание – 3 часа, среднеквадратическое отклонение – 1 час;

• Т3, равномерный закон, мат. ожидание – 1,5 часа, среднеквадратическое отклонение 0,5 часа;

В первом отделе обработкой занимаются 2 человека; во втором отделе – 3 человека, в 3 отделе – 5 человек. Перед каждым этапом обработки может скапливаться очередь заявок.

Клиенты жалуются на чрезмерную длительность обработки документов и длительное ожидание в очередях. По мнению менеджеров компании, длительное ожидание оформления кредита зачастую приводит к потере клиента, который в следующий раз не захочет обращаться за кредитом в эту кредитную организацию.

Анализ показал, что 90% заявок не являются сложными и могут быть обработаны одним специалистом без привлечения экспертов. Таким образом, была предложена следующая организация процесса: специалисты (3чел.), снабженные экспертной системой, каждый самостоятельно полностью обрабатывают простые запросы (длительность обработки Т1’ – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 2 часа, среднеквадратическим отклонением 1час). В сложных случаях (10% заявок) специалист прибегает к помощи экспертов. В этом случае длительность обработки имеет равномерный закон с математическим ожиданием 2 суток, среднеквадратическим отклонением 0,5 суток. В случае занятости всех специалистов в момент прихода очередной заявки на кредит заявка становится в очередь.

Построить имитационные модели обоих вариантов организации процесса кредитования. Сравнить результаты (среднее время обработки, среднее время ожидания в очереди). Сделать выводы о целесообразности внедрения второго варианта организации процесса кредитования.

Вариант 4. Рассматривается процесс обслуживания покупателей в магазине. Магазин имеет 3 отдела: №1 «Хлебный», №2 «Колбасно-мясные изделия и сыры» и №3 «Крупы, макаронные изделия, чай, кофе». Интервал прихода покупателей, желающих совершить покупку хлебобулочных изделий, – случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону с математическим ожиданием 3 мин. Интервал прихода покупателей, желающих совершить покупку в отделе №2, – случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону с математическим ожиданием 5 мин. Интервал прихода покупателей, желающих совершить покупку в отделе №3, – случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону с математическим ожиданием 10 мин.

В отделе №1 обслуживание покупателей занимается 2 продавца. Интервал обслуживания одного покупателя – случайная величина, распределенная по равномерному закону [21] мин.

В отделе №2 покупателей обслуживает 1 продавец. Период обслуживания – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 5 мин., среднеквадратическим отклонением 2мин.

Обслуживанием покупателей в отделе №3 занимается 1 продавец. Период обслуживания – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 7 мин., среднеквадратическим отклонением 3мин.

Перед каждым отделом могут образовываться очереди.

Определить, будет ли рассмотренная система обслуживания обладать достаточной пропускной способностью (среднее время ожидания в очереди – не более 5 мин.). Если нет, то попробовать перераспределить продавцов по отделам. Т.е. исходная схема обслуживания 2,1,1. Попробовать схемы; 1,2,1 и 1,1,2. Если все три варианта распределения 4 продавцов по отделам не обеспечат необходимую пропускную способность, то определить наиболее рациональное распределение продавцов по отделам в случае добавления в коллектив еще одного продавца.

Вариант 5. Объектом моделирования является процесс обслуживания клиентов в сберегательной кассе. Интервал прихода клиентов в сберкассу – случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону со средним значением 7 мин.

25% клиентов из общего потока желают выполнить оплату налогов (земельный, транспортный и др.), штрафов или госпошлину. Этим видом обслуживания занимается сотрудник сберкассы в окне №1. Время обслуживания в этом окне – случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним значением 5 мин., среднеквадратическим отклонением 2 мин. Перед окном №1 может скапливаться очередь клиентов, ожидающих обслуживание.

55% клиентов желают совершить операции с уже имеющимся вкладом (пополнить вклад, снять проценты, снять часть вклада). Обслуживаем таких заявок занимаются сотрудники сберкассы в окнах №2, №3 и №4. Клиент в случае, если сотрудники всех трех окон заняты обслуживанием клиентов, становится в общую очередь к окнам №2-4. Продолжительность совершения вышеуказанных операций – случайная величина, распределенная по равномерному закону [144] мин.

20% клиентов желают открыть новый вклад или полностью закрыть открытый ранее вклад. Обслуживанием заявок этого типа занимаются также окна №2-4. Продолжительность совершения операций открытия/закрытия вклада– случайная величина, распределенная по равномерному закону [2010] мин.

Вариант 6. В телефонную справочную службу «09» поступают звонки. Период обращения граждан за справкой о номере телефона абонента является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону с математическим ожиданием 30секунд. Время получения справки о номере телефона – случайная величина, распределенная по равномерному закону [10.3] мин. Телефон справочной службы «09» многоканальный – имеет M каналов. Если клиент звонит в момент, когда все каналы заняты, то он получает отказ – «короткие гудки».

Провести имитационные эксперименты с разным количеством М – каналов связи (и соответственно телефонисток справочной службы). Получить статистические характеристики: коэффициент загрузки каналов, количество отказов в обслуживании и др.

Определить какое количество телефонисток М должно работать в справочной службе, чтобы вероятность отказа клиенту составляла не более 5%.

Вариант 7. Интернет-клуб имеет 5 компьютеров. Клиенты, желающие получить доступ к сети Интернет, приходят в клуб с интервалом, являющимся случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону с математическим ожиданием 10 мин.

Время пользования услугами Internet каждого клиента – случайная величина, распределенная по нормальному закону со математическим ожиданием 45мин., среднеквадратическим отклонением 15мин. Если клиент приходит в клуб и видит, что все компьютеры заняты, то он ожидает освобождения какого-либо из пяти компьютеров. Если клиент приходит и видит, что в очереди уже ожидают освобождения компьютеров 3 человека, то он отказывается о намерения получить доступ в Интернет и уходит из клуба.

Построить модель и провести с ней имитационные эксперименты. Получить набор статистических характеристик: среднее время ожидания в очереди, коэффициенты загрузки компьютеров, вероятность ухода клиента необслуженным и др.

Вариант 8. На телефонный переговорный пункт приходят граждане для того, чтобы позвонить в другой город. Интервал прихода граждан – случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону с математическим ожиданием 2 мин. Продолжительность одного разговора – случайная величина, распределенная по экспоненциальном закону с математическим ожиданием 5 мин. Если клиент приходит и видит, что все кабинки заняты, то он становится в очередь при условии, если в очереди стоит не более 2 человек. Если клиент приходит и видит очередь из 3 человек, ожидающих освобождения телефонов, то он не становится в очередь и уходит.

На переговорном пункте имеется N кабинок с телефонными аппаратами для переговоров.

Провести имитационные эксперименты с разным количеством N – каналов связи (кабинок с телефонными аппаратами). Получить статистические характеристики: коэффициент загрузки каналов, количество отказов в обслуживании и др.

Определить какое количество телефонных кабинок N необходимо обеспечить на переговорном пункте, чтобы вероятность отказа клиенту составляла не более 5% и среднее время ожидания в очереди было не более 3 мин.

Вариант 9. Торговая фирма специализируется на продажах товаров для дома по методу direct marketing: потребители выбирают необходимые им товары по каталогу, а затем делают заказ товаров по телефону. Заказанные товары доставляют клиентам либо по почте, либо прямо на дом. Руководство фирмы приняло решение обновить существующую систему телефонной связи. Имеется возможность приобрести мини-АТС, обеспечивающую подключение 3 телефонных аппаратов, или мини-АТС, обеспечивающую подключение 5 телефонных аппаратов. Издержки, связанные с использованием этих мини-АТС, приведены в табл. 1.

Табл. 1.

Издержки, связанные с использованием различных вариантов АТС

Издержки	Мини-АТС на 3 телефона	Мини-АТС на 5 телефонов
Связанные с эксплуатацией в минуту (у.е.) Связанные с простоем в минуту (у.е.)	2,5 0,5	4 1

Входной поток заказов клиентов распределен по экспоненциальному закону со средним значением 0,5мин. Время обслуживания требований распределено по нормальному закону со средним значением 2 мин и среднеквадратическим отклонением 2/3 мин. Издержки, связанные с отказом в обслуживании, который происходит, когда все каналы заняты, составляет 45 у.е. Издержки, связанные с пребыванием требования в системе в единицу времени, не учитываются.

Получить набор статистических показателей: коэффициент загрузки телефонов мини-АТС для обоих вариантов, вероятность отказа и т.д. Определить какая мини-АТС подходит лучше, т.е. при работе какой мини-АТС общие издержки, связанные с работой системы в единицу времени, будут меньше.

Вариант 10. Система скорой помощи городского района города К представляет собой пункт (который принимает вызовы от больных) и некоторое количество автомашин скорой помощи с врачебными бригадами. Интервал поступления вызовов от больных – случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону со средним значением 6 мин. Продолжительность оказания врачебной помощи (включая время на дорогу) распределено по нормальному закону со средним значением 1,2 часа, среднекв. откл. 30мин. В 10% вызовов требуется госпитализация больных. В этом случае время бригада скорой помощи отвозит больного в больницу, соответственно время обслуживания вызова дополнительно увеличивается на случайную величину, распределенную по равномерному закону на интервале [5030]мин.

Определить какое количество врачебных бригад и автомашин необходимо для того, чтобы время ожидания начала обслуживания вызова было для больных не более 10мин. при условии минимизации затрат на эксплуатацию системы (т.е. определить минимально необходимое число бригад).

Вариант 11. Со склада оптовой торговой фирмы отпускаются товары клиентам. Товары на машины грузят 3 бригады рабочих, каждая из которых состоит из 4 человек. Складская площадка вмещает не более 6 машин, таким образом, длина очереди не превышает 3 машин. Если на площадке находится 6 машин, то вновь прибывшая машина не обслуживается и уезжает. Интервал времени между приходом машин на погрузку распределено по экспоненциальному закону со средним значением 20 минут. Длительность погрузки распределена по нормальному закону со средним значением 50 минут и среднеквадратическим отклонением 15минут.

От клиентов фирмы поступают жалобы на слишком длительное пребывание машин на складе. Поэтому перед руководством фирмы стоит задача реорганизации системы обслуживания. Один из специалистов фирмы предлагает из трех бригад сформировать две, по 6 человек в каждой. При этом среднее время погрузки уменьшится до 30 минут, среднеквадратическое отклонение до 10 минут.

Получить набор статистических показателей: коэффициенты загрузки бригад для обоих вариантов, вероятность отказа, среднюю длину очереди, среднее время ожидания в очереди и т.д. Определить имеет ли смысл предложенная реорганизация, если в качестве критерия качества выбрать минимальное среднее время пребывания машины на складе.

Вариант 12. Торговая фирма предполагает предоставлять своим клиентам возможность осуществить заказ товаров по телефону. Для этой цели необходимо выделить и подготовить персонал, а также выбрать соответствующую мини-АТС с несколькими телефонными аппаратами. Порядок обслуживания должен быть следующим: если заказ поступает, когда все линии заняты, то абонент получает отказ. Если же в момент поступления заказа хоть одна линия свободна, то осуществляется переключение на эту линию и оформление заказа. Предполагаемый интервал времени между поступлением требований распределен по экспоненциальному закону со средним значением 2мин. Длительность оформления заказа распределена по нормальному закону со средним значением 5мин. и среднеквадратическим отклонением 1,5 мин.

Получить набор статистических показателей: коэффициенты загрузки мини-АТС, вероятность отказа и т.д. для различных вариантов мини-АТС. Определить, какое минимальное количество каналов обслуживания необходимо, чтобы обеспечить выполнение условия: вероятность отказа клиенту (когда все линии заняты) не должна превышать 0,05.

Вариант 13. В аудиторскую фирму поступает поток заявок на обслуживание. Интервал между приходом очередного клиента распределен по экспоненциальному закону со средним значением 0,67 дн. Время обслуживания распределено по нормальному закону распределения со средним значением 5 дней и стандартным отклонением 1 день. Аудиторская фирма располагает N независимыми бухгалтерами, выполняющими аудиторские проверки. Очередь заявок не ограничена. Определить в результате моделирования вероятностные характеристики аудиторской фирмы как системы массового обслуживания: среднее время ожидания клиентом начала проверки, среднее число заявок в очереди, коэффициенты загрузки бухгалтеров при различных значениях N=2,3,4,5... Определить минимально необходимое число бухгалтеров N, которым должна располагать аудиторская фирма для того, чтобы среднее время ожидания клиентами начала проверки не превышало 1 день.

Вариант 14. Игровой клуб «777» имеет 7 игровых автоматов. Клиенты, желающие поиграть, приходят в клуб с интервалом, являющимся случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону с математическим ожиданием 3 мин.

Время игры каждого клиента – случайная величина, распределенная по равномерному закону [1510]мин. Если клиент приходит в клуб и видит, что все игровые автоматы заняты, то он ожидает освобождения какого-либо из 7 игровых автоматов. Если клиент приходит и видит, что в очереди уже стоит один человек, ожидающий освобождения игрового автомата, он отказывается о намерения поиграть в этом клубе и уходит в другой клуб.

Построить модель и провести с ней имитационные эксперименты. Получить набор статистических характеристик: среднее время ожидания в очереди, коэффициенты загрузки игровых автоматов, вероятность ухода клиента необслуженным и др.

Вариант 15. Объектом моделирования является процесс камеральной проверки налоговой отчетности в налоговой инспекции. Этот вид проверки проводится по месту нахождения налогового органа на основе налоговых деклараций и документов, представленных налогоплательщиком, служащих основанием для исчисления и уплаты налогов. Пусть упрощенно процедура камеральной проверки состоит в следующем:

• 1 этап: прием и регистрация налоговых деклараций у налогоплательщика. Налоговые декларации 30% налогоплательщиков представляет только на бумажных носителях, остальные дополнительно представляют на электронных носителях. Время ввода деклараций, представленных на электронных носителях, является случайной равномерно распределенной на интервале [5,10] мин. величиной. В случае представления деклараций только на бумажных носителях осуществляется их ручной ввод в базу данных. Время обработки в этом случае является случайной величиной, равномерно распределенной по нормальному закону с мат. ожиданием 30 мин., среднеквадратическим отклонением 10мин.;

• 2 этап: сотрудниками отдела камеральных проверок осуществляется процедура камеральной налоговой проверки. Время, затрачиваемое инспектором на проверку налоговой отчетности одного налогоплательщика – случайная величина, распределенная по нормальному закону с мат. ожиданием 400мин., среднеквадратическим отклонением 100 мин. Налогоплательщики приносят документы в налоговую инспекцию с интервалом, являющимся случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону со средним значением 0,5ч. Прием документов и ввод в базу данных осуществляют два инспектора отдела ввода и обработки данных. Камеральной проверкой занимаются 14 инспекторов отдела камеральных проверок.

Чтобы оптимизировать нагрузку инспекторов, было выдвинуто предложение одного инспектора, занимающегося вводом данных, перевести в отдел камеральных проверок, т.е. на этапе приема документов и ввода данных остается 1 инспектор, а камеральными проверками будут заниматься 15 инспекторов.

Провести имитационные эксперименты с моделью при разных вариантах распределения трудовых ресурсов по отделам. Получить статистические характеристики: коэффициенты загрузки инспекторов обоих отделов, среднее время ожидания документов в очередях на обработку. По результатам моделирования сделать вывод о целесообразности предложенной выше перестановки кадров.