12.5.1. Итерационная реализация методов прогноза и коррекции

Априорные оценки теоретически позволяют рассчитать предельные значения абсолютных погрешностей для получаемых численных решений дифференциальных уравнений. Поскольку такие оценки выражаются через производные интегрируемых функций, то, фактически, их основное назначение - задавать степень точности метода по шагу интегрирования h, т.е. определять пропорциональность изменения точности некоторой степени от h.

Например, если явный метод Эйлера имеет первый порядок точности О(h¹), то с уменьшением h в 10 раз точность результата повышается тоже в 10 = 10¹ раз. Метод Рунге-Кутты обладает 4 порядком точности О(h⁴), при уменьшении шага в 10 раз, результат улучшается в 10 000 = 10⁴ раз. Поскольку этот метод по сравнению с методом Эйлера использует всего в 4 раза больше вычислений, то использование его более выгодно. С повышением порядка точности метода возрастает сложность его алгоритма.

Назовем для краткости рассмотренные методы решения неявных уравнений методами с однократным уточнением, поскольку в них коррекция производится путем разового расчета по заданным формулам. Положительным свойством данных неявных методов интегрирования ОДУ первого порядка является то, что объем вычислений в их алгоритмах заранее известен за счет того, что при заданной постоянной длине шага h интегрирования на каждом из частных отрезков [x_i, x_i+1] они однократно выполняют заданный набор операций для численного определения решения - значения y_(i+1) искомой функции y(х) в конечной точке отрезка x_i+1 и ее производной f_i+1. Это позволяет по известной производительности вычислительного устройства заранее оценивать время счета алгоритма, что существенно для систем, работающих в реальном времени.

Однако в тех случаях, когда необходимо гарантированно достичь заранее заданной точности интегрирования  на каждом шаге решения (а не той, которая гарантируется априорной оценкой) при отсутствии ограничения на полное время решения задачи Коши, можно использовать итерационные варианты методов прогноза и коррекции. В них однократное начальное предсказание y_(i+1)0 значения искомой функции y(х) в конечной точке x_i+1 текущего отрезка [x_i, x_i+1] производится по тому же предиктору, что и в обычном методе. Затем полученное приближение уточняется не один раз, а многократно итерационным способом с получением последовательности приближенных решений {y_(i+1)р, р=1,...} для y_(i+1). Расчет производится до тех пор, пока изменение вычисляемых значений функции y_(i+1)р не станет меньше, чем заранее заданная предельная величина : y_(i+1)р - y_(i+1)(р-1)< .

Рассмотрим применение итерационного метода прогноза и коррекции на основе простейшего метода Хойна решения неявного уравнения метода Эйлера (12.9). Как и ранее, ищется решение задачи Коши на отрезке [а, b] (12.2): у' = f(x,y), y(а) = y₀. Допустим, после i шагов найдены значения искомой функции {у₁, у₂,... у_i } в узловых точках {х₁, х₂,... х_i } и требуется найти очередное значение искомой функции у_i+1 в узле х_i+1.

Алгоритм решения ОДУ первого порядка на частичном отрезке по итерационному варианту метода Хойна.

I. р = 0. Предсказание (прогноз) значения функции f(x,y) на правом конце шага в узле х_i+1 выполняется по методу левых прямоугольников: y_(i+1)0 = y_i + f_i · h.

II. Итерационное уточнение начального значения.

1. р: = р +1.

2. Расчет производной в узле х_i+1 подстановкой y_(i+1)(р-1) в исходное уравнение:

f _(i+1)р = f (х_i+1, y_(i+1)(р-1)).

3. Уточняющий расчет очередного значения y_(i+1)р для искомой функции по методу трапеций:

y_(i+1)р = y_i + (f_i + f _(i+1)р)/2.

4. Проверка точности полученного приближения:

| y_(i+1)р – y_(i+1)(р-1)| = | f _(i+1)р – f _(i+1)(р-1)| > .

Если условие выполнено (приращение значения y_i+1 достаточно велико), то переходим на Шаг 1 и продолжаем итерации. Иначе (точность  достигнута), принимаем: y_i+1 = y_(i+1)р, f_i+1 = f_(i+1)р и переходим к решению уравнения на следующем частичном отрезке.

Изложенный метод является одношаговым, для него не требуется предварительный расчет начальных точек. В данном методе путем объединения шагов 2 и 3 расчетную схему можно представить в виде схемы простой итерации:

y_(i+1)р = y_i + (f_i + f (х_i+1, y_(i+1)(р-1)))/2.

Очевидно, при ее практической реализации возникает проблема сходимости. При ее отсутствии можно применять и другие итерационные методы решения нелинейных уравнений.

Аналогично методу Хойна могут быть построены итерационные варианты и для других неявных методов решения ОДУ первого порядка.

Главное преимущество итерационных методов заключается в том, что при наличии сходимости они позволяют получить высокую гарантированную точность решения при простой расчетной схеме метода. При этом необходимо учитывать, что при малых значениях  в суммарной погрешности метода будет возрастать доля погрешности, вносимой округлениями.

Вопросы для проверки знаний.

1. Какую группу численных методов называют методами прогноза и коррекции (предсказывающе-исправляющими или схемами "предиктор-корректор") и какие два основных действия они содержат ?

2. В чем заключается наиболее простой способ построения методов прогноза и коррекции ?

3. Какие наиболее употребительные методы прогноза и коррекции на основе методов Адамса применяют при решении ОДУ первого порядка ?

4. Какой подход построении расчетных схем в методах прогноза и коррекции альтернативным к применению методов Адамса, каковы наиболее употребительные методы прогноза и коррекции данного вида ?

5. В чем заключаются достоинства и недостатки методов решения неявных уравнений с однократным уточнением ?

6. Каким образом реализуются итерационные варианты методов прогноза и коррекции, в чем заключаются их достоинства и недостатки ?