МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Н.Г. Воробьева

Числовые системы

Курс лекций

Орехово-Зуево

2008

ПРЕДИСЛОВИЕ

Обучение математическим дисциплинам в педагогическом вузе направлено, в первую очередь, на повышение математической культуры будущего учителя математики. Математическая культура – это умение взглянуть на частные вопросы с позиции общих, знание истоков данного вопроса, его связь с другими, понимание значения данного вопроса для дальнейшего изучения дисциплины, определение места данного материала в структуре изучаемого предмета. Кроме хорошего знания своего предмета, учитель должен владеть методикой и технологией обучения. Этими умениями студенты овладевают не только на специальных предметах психолого-педагогического цикла, но и на занятиях по специальным дисциплинам. И еще одним важным направлением в подготовке будущего учителя является развитие его познавательной активности и творческих способностей. Курс «Числовые системы» как нельзя лучше подходит для реализации всех этих задач обучения.

Числовая линия проходит через весь школьный курс математики, начиная с первого класса. Учащиеся и студенты настолько привыкают к действиям с различными числами, что не задумываются о том, как построена каждая из числовых систем, существуют ли другие числовые системы, что определяет свойства чисел и т.п. Курс «Числовые системы» призван решить задачи подготовки учителя к изучению числовой линии в школе с учетом теоретических и методологических подходов к построению различных числовых множеств. В связи с этим важно проследить связь курса «Числовые системы» курсом «Теория и методика обучения математике», который изучается студентами после первого. Эта взаимосвязь позволит реализовать один из основных дидактических принципов обучения - принцип научности.

При изучении школьной математики теоретическая основа построения числовой линии практически скрыта от учащихся, не всегда выдержан достаточный уровень строгости при введении новых числовых множеств, что методически оправдано в связи с возрастными особенностями учащихся, так как необходимо найти оптимальное сочетание уровня научности и доступности. Кроме того, растянутое по времени изучение числовых множеств на протяжении всех лет обучения математике в школе не позволяет полностью систематизировать и структурировать полученные знания, выявить пробелы в осознании числовых систем как математических объектов со своей структурой и свойствами. В школьном курсе математики числовые системы играют практическую роль для решения прикладных задач на вычисление и измерение. В курсе «Числовые системы» студенты встречаются с целенаправленным и последовательным изучением числовых множеств, их аксиоматическим построением, знакомятся с новыми числовыми множествами (двойные и дуальные числа, кватернионы, гиперкомплексные числа), впервые сталкиваются с вопросом конечности расширения числовых множеств (теорема Фробениуса). Числовые системы становятся объектом изучения с точки зрения алгебраических структур. В результате становятся понятными многие вопросы, связанные с выполнением арифметических действий, выводимостью их свойств, возможностью переноса свойств, полученных в одном множестве на другое.

Курс «Числовые системы» обобщает не только школьные знания студентов, но и знания, полученных ими при изучении других математических дисциплин на первых курсах вуза, таких как математический анализ (действительные числа), алгебра (комплексные числа, алгебраические системы). Важно отметить, что данный курс позволяет показать различные подходы к построению одной и той же числовой системы (например, действительный числа), а также построить несколько моделей для элементов числового множества (комплексные числа). Для данного курса характерным является широкое практическое использование такого понятия как изоморфизм множеств, изучение которого в курсе алгебры носит абстрактный характер. Кроме этого, большое значение при построении новых числовых множеств имеет отношение эквивалентности, которое определяет разбиение множеств на классы попарно эквивалентных элементов. Таким образом, в данном курсе, как в капле воды, отражены всевозможные абстрактные понятия, математические методы в их практическом применении.

На курс «Числовые системы» отводится всего 18 часов лекций, поэтому в рамки этих 9 лекций невозможно вместить все теоретические вопросы. Поэтому часть теоретических вопросов выносятся на практические занятия (на математическом отделении на них отводится 27 часов, а на физическом – всего 7), а также на самостоятельную работу. Особенностью данного курса является концентрический подход к построению каждой новой числовой системы, что позволяет студентам самостоятельно развернуть содержание новой темы на основе ее краткой схемы. Например, схема построения рациональных чисел практически совпадает со схемой построения целых чисел, поэтому тему «Рациональные числа» студенты изучают самостоятельно, с последующим обсуждением итогов работы на практических занятиях. Как было отмечено, при изучении данного курса используются понятия, с которыми студенты встречались при изучении других математических дисциплин, это также позволяет организовать самостоятельную работу студентов. Так для построения поля действительных чисел в качестве элементов используются фундаментальные последовательности рациональных чисел, с этим понятием студенты встречались в курсе математического анализа, поэтому многие свойства фундаментальных последовательностей они могут доказать самостоятельно. Целью этой самостоятельной работы является перенос ранее полученных знаний в новую ситуацию, а также обобщение, повторение и закрепление ранее изученного материала. Для самостоятельной работы студентам можно предложить выполнить небольшие исследования по новым для них числовым системам и сделать сообщения для остальных студентов, найти практическое применение новым числам и т.п. Таким образом, курс «Числовые системы» играет значительную роль в подготовке будущего специалиста.

Курс «Числовые системы» начинается с изучения темы «Натуральные числа», хотя желательно было бы начать с введения в данный курс, т. е. с основных понятий. В данном случае это такие понятия как алгебра, алгебраическая структура, основные алгебраические структуры: группа, кольцо, поле, тело. В связи с недостатком времени на лекции и исходя из того, что этот материал известен студентам, можно рассмотреть его на практическом занятии и предложить задания для самостоятельной работы. Любое повторение ранее изученного материала должно осуществляться на новом уровне и с учетом конкретных задач. Например, можно дать несколько эквивалентных определений одного и того же понятия, студенты должны понимать это и уметь устанавливать их взаимосвязь и выводить одно из другого. В первую очередь, по отношению к рассматриваемому курсу, речь идет об определениях понятий группы, кольца, поля.

Еще раз вернемся к вопросу о всестороннем изучении числовых систем в педагогическом вузе на физико-математическом факультете. Если проанализировать образовательные стандарты, то с числовыми системами студенты встречаются сначала в курсе алгебры – этот этап изучения можно рассматривать как пропедевтический, затем в курсе «Числовые системы» (систематическое изучение), а также в курсах «Методика обучения математике» (практическое применение) и «История математики». Такой подход к изучению числовых систем позволяет говорить о возможности повышения качества подготовки будущего учителя, если свести эти элементы – составные части обучения - в единую систему. К сожалению, практически каждая часть изучается изолированно друг от друга, за исключением ссылок, которые делает преподаватель при изучении своего предмета на ранее изученный материал. Поэтому для повышения эффективности обучения необходим комплексный подход к изучению каждого раздела математики, в том числе и числовых систем. Как уже было сказано, одним из средств реализации системного подхода в обучении являются учебные задания межпредметного характера, учебная самостоятельная работа и исследовательская работа студентов.

Лекция 1.

I. Натуральные числа

Рассмотрим аксиоматическое построение множества натуральных чисел. Основным объектом рассматриваемой теории будут единица и натуральные числа, основным отношением между натуральными числами будет отношение «следует за». Натуральные числа будем обозначать a, b, c, d…, а единицу -1. отношение a=b называется равенством, которое означает, что одно и тоже натуральное число обозначено различными буквами. Отношение a≠b называется неравенством, которое означает, что a и b обозначены различными натуральными числами. Число, следующее за числом a, обозначается через a′.

Аксиомы Пеано и следствия из них.

Определение. Натуральными числами называются элементы всякого непустого множества N, в котором для некоторых элементов a и b установлено отношение «b следует за a», удовлетворяющее следующим аксиомам:

А₁: Существует натуральное число 1(единица), которое не следует ни за каким натуральным числом.

А₂: Для любого натурального числа a во множестве N существует одно, и только одно, следующее за ним натуральное число a’

А₃: Любое натуральное число следует не более чем за одним натуральным числом.

А₄: (аксиома индукции) Каждое множество натуральных чисел M, которое содержит число 1 и которое вместе с каждым числом a содержит и его последующее число a’, совпадает с множеством всех натуральных чисел N.

Аксиома А₄ есть принцип математической индукции, который позволяет доказывать теоремы о натуральных числах

Аксиоматическая теория с формулировкой <{N,1,′},{А₁-А₄}> называется содержательной аксиоматической теорией натуральногоряда.

Определение. Если натуральное число b следует за натуральным числом a (a’=b), то число a называется предшествующим числу b.

По аксиоме А₁ единица не имеет предшествующего числа.

Т₁. Любое натуральное число имеет предшествующее число, и притом единственное.

Доказательство.

Пусть M-множество натуральных чисел содержит 1 и все те, и только те, натуральные числа a, каждое из которых имеет хотя бы одно предшествующее ему натуральное число. Множество M содержит 1 и вместе с каждым содержащимся в нем числом a содержит и его последующее число a′, т.к. a′ имеет предшествующее число a. По А₄ M=N. Единственность предшествующего числа следует из А_3.

Единственность следует из А₃.

Т₂. Если последующие числа не равны, то не равны и предшествующие им числа.

Доказательство (от противного).

Предположим, что a=b, то, по А₂, имели бы a′=b′, что противоречит условию теоремы.

Т₃. Если данные числа не равны, то не равны и их последующие числа.

Доказательство.

Предположим, что a′=b′, то по А₃, имели бы a=b, что противоречит условию теоремы.

Т₄. Никакое натуральное число не равно своему предшествующему.

Доказательство (на основе А₄).

Пусть M- множество всех тех, и только тех, натуральных чисел, для которых теорема верна. M содержит 1, т.к. по А₁ 1′≠1. Если число , то a′≠a, но тогда по Т₃ будет выполняться неравенство (a′)′≠a′, т.е. По А₄ ^, M=N.

Если обозначить 1′ = 2, 2′ = 3, 3′ = 4,…, то получим обычное обозначение натуральных чисел 1, 2, 3, 4, … .

Сложение натуральных чисел.

Определение. Сложением натуральных чисел называется бинарная алгебраическая операция, определенная во множестве натуральных чисел N, которая обладает свойствами:

1°

2°

Число a + b называется суммой, а число a и b - слагаемыми.

Т₅. Сложение натуральных чисел существует, и притом только одно.

I Доказательство единственности.

Предположим, что во множестве N существует еще одна алгебраическая операция , обладающая свойствами 1°, 2°

1°)

2° )

Выберем некоторое число a(пусть a фиксировано) и докажем, что при этом a и выполняется равенство

(1)

Пусть M-множество всех тех, и только тех, чисел b, для которых при выбранном числе a выполняется равенство (1). Если b = 1, то из равенств a + 1 = a′ и a′ = a1 следует равенство a + b = a b, т.е. 1

Если b, то равенство (1) верно по свойствам элементов множества M

При данном a

1.

2.

3.

1-3 => M=N

Тогда из равенств a + b′ = (a + b)′ и (ab)′ = ab′ имеем a + b′ = ab′, т.е. .

По А₄ M = N.

Т.к. при доказательстве a выбрано произвольно, то равенство (1) верно при любых a и b, т.е. обе операции во множестве N могут отличаться друг от друга только обозначениями самих операций, по существу же они совпадают.

I I Доказательство существования

Пусть для которых существует операция

1.

2. Если a = 1, то сложение можно производить по правилу a + b = b′ (2). Однозначность этой операции следует по А₂ . Эта операция обладает свойствами 1 и 2.

1) a + 1 = 1′ (по правилу 2), но по условию a = 1 (1′ = a′) a + 1 = a′

2) По правилу (2) a + b′ = (b′)′ и b′ = a + b, из которых получаем a + b′ = (a + b)′. Следовательно, 1.

3. Если a, то по свойству элементов множества M, для a существует однозначная операция, обладающая свойствами 1° и 2°. Для числа a' и любого числа b сложение можно производить по правилу a′ + b = (a + b)′ (3).

По теореме 1(Т₁) число a′ однозначно определяет a, а т.к. a, то сумма a + b для любого (фиксированного) b определяется однозначно, по А₂ однозначно определяется для b и число (a + b)′. Этим доказана однозначность операции (3).

1. a′ + 1 = (a + 1)′ = (a′)′

2. a′ + b′ = (a + b′)′ = ((a + b) ′)′ = (a′ + b)′

a′ операция сложения существует

1 – 3 => M = N

Таким образом, существует правило, которое позволяет для любых натуральных чисел a и b однозначно найти натуральное число c = a + b, удовлетворяет свойствам 1° и 2° определения сложения.

Следствие.

Для любых чисел a и b справедливы равенства

Примеры.

1+1=1′ =2, 1+2=2+1=2′ =3

4+2=4+1′ =(4+1)′ =5′ =6

Т₆.(закон коммутативности сложения натуральных чисел)

Доказательство.

Пусть b фиксировано.

M-множество всех тех, и только тех a, для которых теорема верна

1.

2. a = 1; b+1= 1+b (верно для всех b по следствию) .

3.

1 – 3 => M=N.

Так как число b выбрано произвольно, то теорема верна.

Т₇.(закон ассоциативности сложения натуральных чисел)

Доказательство.

Пусть a и b фиксированные произвольно выбранные числа.

1.

2. c = 1, (a + b) + 1 = (a + b)′ = a + b′ = a + (b + 1) .

3.

1 – 3 M=N.

Так как числа a и b выбраны произвольно, то теорема верна для любых a,b и c.

Умножение натуральных чисел

Определение. Умножением натуральных чисел называется алгебраическая операция, определенная во множестве натуральных чисел N и обладающая свойствами:

1’

2’

Числа a и b называются сомножителями, а число - произведением. Вместо можно писать ab.

Т₈. Во множестве натуральных чисел существует умножение, и при том только одно.

I Доказательство единственности.

Пусть существует еще одна операция , обладающая свойствами:

1’)

2’)

Докажем, что

Зафиксируем a произвольно

1.

2.

3.

1 – 3 M=N.

Так как число a выбрано произвольно, то единственность умножения доказана для любых натуральных чисел a и b.

I I Доказательство существования

Пусть b - фиксировано, M - множество всех тех и только тех a, для которых существует операция умножения, удовлетворяющая условиям 1′ и 2′.

1.

2. a = 1, умножение можно производить по правилу (4)

Эта операция однозначна, т.к. всякой паре a, b натуральных чисел ставится в соответствие единственное число b.

Покажем, что условия 1′ и 2′ выполняется.

1)

2) ab′ = b′ = b + 1 = ab + a, следовательно для a = 1 операция умножения существует. 1.

3. Если a, то для a существует однозначная операция, обладающая свойствами 1′ и 2′. Для a′ и любого числа b умножение можно производить по правилу (5).

Эта операция однозначна, т.к. произведение ab однозначно определяется по предположению, а сумма ab + b – по однозначности сложения.

Проверим выполнение свойств 1′ и 2′:

1) , т.е.

2)

a’ при любом b операция умножения существует

1 – 3 M=N.

Этим доказано, что существует правило, которое позволяет для любых натуральных чисел a и b однозначно найти натуральное число c = ab. При этом выполняются свойства1′ и 2′. И эта операция единственная.

Следствие.

1)

2)

Пример:

Т₉.(закон коммутативности умножения натуральных чисел)

Доказательство.

Пусть b выбрано

1.

2. a = 1; (верно для всех b по следствию) .

3. (ab = ba верно при любом b)

1 – 3 => M=N.

Так как число b выбрано произвольно, то теорема верна для любых натуральных чисел a и b.

Т₁₀.(закон дистрибутивности)

Доказательство.

Теорема докажем индукцией по c. Числа a и b фиксированы.

1.

2. c = 1, a (b + 1) =a b′ = ab +a = .

3. a(b + c′) = a(b + c)′ = a(b + c) + a = ab + ac + a =

= ab + (ac + a) = ab + ac′

1 – 3 M=N.

Так как a и b выбраны произвольно, то теорема верна для любых a,b и c.

Следствие.

По Т₉ и Т₁₀

Т₁₀ – левый закон дистрибутивности

Следствие – правый закон дистрибутивности

Во множестве натуральных чисел оба этих закона совпадают, поэтому говорят просто о законе дистрибутивности.

Т₁₁ (закон ассоциативности умножения натуральных чисел)

Доказательство.

Числа a и b фиксированные произвольно

1.

2. c = 1, .

3.

1 – 3 M=N.

Так как a и b выбраны произвольно, то теорема верна для любых a,b и c.

Пример: Таблица умножения.

2 ∙ 1 = 2

2 ∙ 2 = 2 ∙ 1′ = 2 ∙ 1 + 2 = 4

2 ∙ 3 = 2 ∙ 2′ = 2 ∙ 2 + 2 = 6

2 ∙ 4 = 2 ∙ 3′ = 2 ∙ 3 + 2 = 8

Лекция 2.

Порядок во множестве натуральных чисел.

Основное отношение «следует за», которое введено при аксиоматическом построении системы натуральных чисел, связано с понятием порядка. Но оно связывает каждый элемент лишь с двумя соседними. Можно ввести отношение порядка для любых натуральных чисел. Это новое отношение будет описываться словом «больше».

Определение. Натуральное число a больше натурального числа b (пишут a > b), если существует натуральное число k, что выполняется равенство a = b + k.

Если a больше b, то b меньше a (пишут b < a)

b < a  a > b

Если , то пишут , a не меньше b.

Если , то пишут , a не больше b.

Т₁.

Доказательство.

1.

2.

3.

1 – 3 M=N.

Т₂. Для любых натуральных чисел a и b имеет место один и только, из следующих трех случаев.

1° a = b

2° a > b

3^o a < b

Доказательство. Нужно доказать, что любых натуральных чисел a и b имеет место один и только, из случаев:

1° a = b

2° a = b + k

3^o b = a + m

I. Доказательство единственности.

Покажем, что два из трех случаев одновременно иметь место не могут.

Из Т₁ следует, что не могут одновременно выполняться первое и второе условия , первое и третье условия .

По той же теореме, случай второй несовместим с третьим: .

Таким образом, может выполняться не более чем одно условие.

I I. Доказательство существования.

Теперь докажем существование для любых a и b хотя бы одного из этих случаев.

Пусть a фиксировано. M-множество всех тех b, для которых имеет место один из случаев 1°, 2°, 3^o

1) b = 1 а) a = 1 => a = b 1 случай

б) , то a имеет предшествующее c, c′ = a => a = c′ = c + 1 = 1 + c, т.е. имеет место второй случай a = b + c. 1.

2) b, т.е. для выбранного a и указанного b имеет место один из случаев 1°, 2°, 3^o

Для b’ имеем

1. a = b, то b′ = b + 1, т.е. для b′ имеем третий случай b′ = a + 1 (b′ > a)

2. a = b + k

3. b = a + m, то b′ = (a + m)′ = a + m′, т.е. для b′ имеем третий случай. b′, M = N (b′ > a)

Так как число a выбрано произвольно, то теорема верна для любых натуральных чисел a и b.

Т₃.(транзитивность неравенств)

Доказательство.

1)

2) аналогично

Т₄.(законы монотонности сложения и умножения)

1)

2)

3)

Доказательство.

1. Утверждения первого пункта следуют из однозначности сложения и умножения.

2. a > b => a = b + k => a + c = (b + k) + c = b + (k + c) = b + (c + k) = (b + c) + k =>

=> a + c > b + c

3. a < b => b > a => b + c > a + c и bc > ac => a + c < b + c и ac< bc

Т₄′.(обратная)

1)

2)

3)

Доказательство.

Докажем например ac > bc => a > b

Предположим противное a = b => ac = bc

a < b => ac < bc, что противоречит условию

Следовательно ac > bc => a > b

Остальные утверждения доказываются аналогично.

Определение. Неравенства a > b и c > d или a < b и c < d называются неравенствами одинакового смысла.

Т₅.

1. любые равенства можно почленно складывать и умножать.

2. Любые неравенства можно почленно складывать и перемножать с любым равенством.

3. Любые неравенства одинакового смысла можно почленно складывать и перемножать.

Доказательство.

Утверждения 1) и 2) получаются непосредственно из Т₄ заменой в одной части c на d или k на m.

3)По Т₄

Для a < b и c < d аналогично.

Т₆. Из всех натуральных чисел единица является наименьшим числом.

Доказательство.

Т_7. (Аксиома Архимеда)

Доказательство.

n = a + 1 (достаточно взять). Перемножим неравенства n > a и b, получим bn > a.

Т₈. Натуральные числа n и n+1 являются соседними числами, т.е. , значит, если

Доказательство.

1)

2)

a > n не может быть по Т₂

Метод полной математической индукции.

Т. Если некоторое утверждение A верно для числа 1 и из того, что оно верно для числа n, следует, что оно верно и для следующего числа n′, то утверждение A верно и для любого натурального a.

Доказательство.

Пусть M-множество всех тех натуральных чисел, для которых утверждение A верно. 1, т.к. по условию теоремы утверждение A для 1 верно. Если n, т.е. для n утверждение A верно, то и n′, т.к. из справедливости утверждения A для n следует справедливость его для n′. По А₄ M=N, т.е. утверждение A верно для любого натурального числа a.

Различные виды доказательств по индукции

1. Принцип полной математической индукции.

Предложение Т(п) с переменной верно для любого натурального числа п, если выполнены следующие условия:

1. это предложение верно для п =1, т.е. Т(1) =и;

2. каково бы ни было натуральное число п, из предположения о том, что это предложение верно для всех п, следует, что оно верно для следующего числа п′, т.е. Т(п) =и Т(п′) =и.

2. Усиленный принцип полной математической индукции.

Предложение Т(п) с переменной верно для любого натурального числа п, если выполнены следующие условия:

1) это предложение верно для п =1, т.е. Т(1) =и;

2) каково бы ни было натуральное число т, из предположения о том, что это предложение верно для всех п<m, следует, что оно верно для m , т.е. Т(m) =и.

3. Обобщенный принцип полной математической индукции.

Пусть . Предложение Т(п) с переменной верно для любого натурального числа п≥а , если выполнены следующие условия:

1) это предложение верно для п =а, т.е. Т(а) =и;

2) каково бы ни было натуральное число п≥а, из предположения о том, что это предложение верно для всех п, следует, что оно верно для следующего числа п′, т.е. Т(п) =и Т(п′) =и.

4. Обобщенный усиленный принцип полной математической индукции.

Пусть . Предложение Т(п) с переменной верно для любого натурального числа п≥а , если выполнены следующие условия:

1) это предложение верно для п =а, т.е. Т(а) =и;

2) каково бы ни было натуральное число т≥а, из предположения о том, что это предложение верно для всех а≤п<m, следует, что оно верно для m , т.е. Т(m) =и.

Пример. Доказать, что среднее геометрическое нескольких положительных чисел не больше их среднего арифметического.

Лекция 3.

Индуктивное определение последовательности.

Определение1. Множество всех натуральных чисел m, не превосходящих некоторое натуральное число n , называется начальным отрезком натурального ряда и обозначается через [1,n].

Определение2. Если по какому-нибудь правилу (закону) каждому натуральному числу n поставим в соответствие некоторый вполне определенный элемент a_n, принадлежащий данному множеству A, то получим последовательность

a₁, a₂, a₃,…, a_n,…

элементов множества A. Элементы, входящие в последовательность называются ее членами, а элемент a_n называется общим членом этой последовательности.

Обозначение последовательности: {a_n}

Если последовательность задана только на множестве натуральных чисел, принадлежащих отрезку [1,п], то она называется конечной. Конечная последовательность {a_n} может быть задана выписыванием всех ее членов, чего нельзя сделать для последовательности бесконечной, т.е. последовательности заданной на множестве всех натуральных чисел.

Существуют различные способы задания последовательностей. Рассмотрим один из них, называемый индуктивным определением последовательности.

Пусть заданы члены последовательности a₁, a₂, a₃,…, a_n.

Определение3. Соотношение между всеми или некоторыми из указанных выше членов последовательности, которые позволяют вычислить следующий член a_n+1 этой последовательности, называются рекуррентными определяющими соотношениями.

Примеры. Арифметические и геометрические прогрессии определяются заданием первого члена a, разности d (знаменателя q) и рекуррентным определяющим соотношением.

1. арифметическая прогрессия a, d: a_n = a₁ + d(n - 1) или a_n = a_n-1 + d.

2. Геометрическая прогрессия a, q: a_n = a_n-1q или an = a₁q^n-1.

3. Последовательность чисел Фибоначчи.

a₁ = a₂ = 1 и рекуррентные соотношения a_n+2 = a_n+1+a_n

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…

T. При заданных рекуррентных определяющих соотношениях, которые однозначно определяют член последовательности a_n, как только все члены a_m при m < n заданы и сами удовлетворяют заданным соотношениям, существует одна, и только одна, такая последовательность {a_n}, члены которой удовлетворяют заданным рекуррентным соотношениям.

По другому, коротко: индуктивно последовательность задается однозначно.

Доказательство.

Докажем методом математической индукции.

Докажем, что на каждом отрезке [1,n] существует одна и только одна такая последовательность.

1. Для отрезка [1,1] утверждение верно, т.к. последовательность в этом случае состоит из одного члена a₁, который, как не имеющий предшествующих членов должен быть задан непосредственно.

2. Пусть утверждение верно для всех отрезков [1,m] (m < n), тогда оно будет верно и для отрезка [1,n], т.к. последовательность a₁, a₂, a₃,…, a_n-1, a_n получается из последовательности a₁, a₂, a₃,…, a_n-1 присоединением члена a_n, который, по условию теоремы, определяется однозначно через предшествующие члены.

Этим доказано, что для каждого отрезка [1,n] существует одна, и только одна последовательность, члены которой удовлетворяют данным рекуррентным соотношениям.

Последовательность, определенная на [1,n], определена и на [1,m] (m < n), все ее члены удовлетворяют заданным соотношениям и потому совпадают с соответствующими членами последовательности, заданной на отрезке [1,m].

Бесконечная последовательность {a_n}, удовлетворяющая условиям теоремы, содержит в себе каждую последовательность, заданную на отрезке [1,n]. Любой член a_k бесконечной последовательности {a_n} определяется однозначно как общий член всех конечных последовательностей, для которых он определен.

Сумма и произведение нескольких натуральных чисел.

Определение. Если дан начальный отрезок натурального ряда [1,n], то число n называется числом элементов отрезка и числом элементов любого множества, эквивалентного отрезку [1,n]. В этом смысле число n называется количественным натуральным числом. Натуральные числа, построенные на аксиомах Пеано, называются порядковыми натуральными числами.

Указанное определение устанавливает взаимнооднозначное соответствие между множеством всех порядковых натуральных чисел и множеством всех количественных натуральных чисел.

Определение. Установление взаимнооднозначного соответствия между элементами какого-либо конечного множества и элементами некоторого начального отрезка натурального ряда [1,n] называется счетом элементов данного конечного множества.

Пусть даны натуральные числа a₁, a₂, a₃,…, a_n, которые занумерованы натуральными числами от 1 до n, т.е. установлено взаимнооднозначное соответствие между множеством данных чисел и множеством чисел отрезка [1,n]. В таком случае говорят, что даны n натуральных чисел.

Определение. Суммой n натуральных чисел a₁, a₂, a₃,…, a_n называется n-ый член последовательности {S_n}, который обозначается через S_n = a₁+ a₂ + a₃ +…+ a_n = a_i, сама же последовательность {S_n} определяется рекуррентными соотношениями:

1. S₁ = a_i = a₁

2. S_k+1 = a_i = a_i + a_k+1 = S_k + a_k+1 ( для всех k < n)

Определение. Произведением n натуральных чисел a₁, a₂, a₃,…, a_n называется n-ый член последовательности {P_n}, который обозначается через P_n = a₁ a₂ a₃ … a_n = a_i, сама же последовательность {P_n} определяется рекуррентными соотношениями:

1. P₁ = a_i = a₁

3. P_k+1 = a_i = (a_i ) a_k+1 = P_k a_k+1 (для всех k < n)

По теореме об индуктивном задании последовательности при заданных числах a₁, a₂, a₃,…, a_n существуют единственные последовательности S₁, S₂, S₃,…, S_n и P₁, P₂, P₃,…, P_n-1, заданные на отрезке [1,n]. Из единственности этих последовательностей следует единственность суммы S_n и произведения P_n чисел a₁, a₂, a₃,…, a_n.

Т₁. Законы ассоциативности сложения и умножения справедливы для любого числа натуральных чисел

1. a_i + a_m+i = a_i

2. ( a_i )( a_m+i ) = a_i

Доказательство.

Докажем методом полной математической индукции по числу n.

1. n = 1, a_i + a_m+1 = a_i (по рекуррентному соотношению)

( a_i ) a_m+i = a_i

Для n = 1 теорема верна

2. Пусть теорема верна для n, проверим для n′ = n + 1

a_i + a_m+i = a_i + (a_m+i + a_m+n+1 ) = (a_i + a_m+i ) + a_m+n+1 =

= a_i + a_m+n+1 = a_i

Для произведения аналогично.

Таким образом, теорема верна для n = 1, и из того, что она верна для числа n, следует, что она верна и для числа n + 1. По теореме индукции теорема справедливы для любого n.

Т₂. Законы коммутативности сложения и умножения справедливы для любого числа натуральных чисел, т.е. сумма n слагаемых и произведение n сомножителей не зависят от порядка следования компонентов.

Доказательство.

Докажем эту теорему для произведения, т.к. для суммы доказательство аналогично.

Пусть имеется произведение n натуральных чисел, взятых в произвольном порядке

a_j1 a_j2 a_j3 … a_jn = a_jl

в отличие от первоначального

a₁ a₂ a₃ … a_n = a_i .

Покажем, что a_jl = a_i

Доказательство будем проводить индукцией по n.

1) n = 1, a_jl = a₁ = a_i теорема верна.

2) Предполагаем, что утверждение теоремы верно для всех чисел, меньших n, т.е. для любого числа сомножителей меньших числа n. Положим n = k + 1.

а) Пусть a_j1 = a_n => j₁ = n

= a_j1 ∙ = a_n ∙ = ()∙a_k+1= =

б) Пусть a_jm+1 = a_n => j_m+1 = n, где m < k, k = m + q, n = m + q + 1

a_jl = (a_jl )∙ a_jm+1 ∙(a_jm+1+l )= (a_jl a_jm+1+l) a_jm+1 = (a_ia_m+i ) a_n = =(a_i ) a_n = a_i

в) Пусть a_jn = a_n => j_n = n

a_jl = a_jl a_jn = a_jl a_n = a_i a_k+1 = a_i = a_i

Из 1-2 следует, что теорема справедлива для всех натуральных чисел.

Т₃. Для натуральных чисел справедливы равенства:

( a_i + b_i ) = a_i + b_i

(a_i + b_i ) = (a_i ) (b_i )

Доказательство.

Докажем только для суммы, т.к. доказательство для произведения аналогично.

1) n = 1, ( a_i + b_i ) = a₁ + b₁ = a_i + b_i

2) Пусть предложение верно для n, покажем, что оно верно и для n′ = n + 1.

( a_i + b_i ) = ( a_i + b_i ) + a_n+1 + b_n+1= a_i + b_i + a_n+1 + b_n+1 = (a_i + a_n+1 ) + + (b_i + b_n+1 ) = a_i + b_i

Из 1-2 следует, что теорема справедлива для всех натуральных чисел.

Определение. Если все n сомножителей равны между собой, т.е. a₁ = a₂ = a₃ = …= a_n = a, то полагаем aⁿ = a

Число aⁿ называется n-й степенью числа a.

Следствие1. При n = 1 имеем : a¹ = a = a

Следствие 2. a^m aⁿ = a^m+n

(a ) (a ) = a (закон ассоциативности)

Следствие3. (ab)ⁿ = aⁿ bⁿ

(ab) = (a ) (b ) (Т₃)

Следствие4. (a^m)ⁿ = a^mn

Доказательство.

Докажем индукцией по m.

1) m =1 (a¹)ⁿ = aⁿ = a¹ⁿ

2) Пусть при m = n равенство (a^k)ⁿ = a^kn справедливо, тогда при m = k + 1 получаем: (a^k+1)ⁿ=( a^k a¹)ⁿ = (a^k)ⁿ aⁿ = a^kn aⁿ = a^kn aⁿ = a^kn+n = a^(k+1)n

Т₄. Для любых натуральных чисел n и a справедливо равенство na = a .

(na = a)

Докажем методом полной математической индукции по n.

1. n = 1, 1a = a = a

2. Покажем, что если n = k равенство ka = a справедливо, то оно справедливо и при n = k + 1.

na = ( k+1 ) a = ka + a = a+ a= a = a

Эта теорема позволяет рассматривать выражение na как произведение натуральных чисел n и a и как сумму n слагаемых, каждое из которых равно a. В частности натуральное число n можно рассматривать как сумму n слагаемых, каждое из которых равно единице.

Т₅. (закон дистрибутивности)

Для любого числа слагаемых имеет место равенство:

b(a_i ) = b(a₁+ a₂ + a₃ +…+ a_n ) = ba₁+ ba₂ + ba₃ +…+ ba_n = (ba_i)

Докажем методом полной математической индукции по числу n.

1. n = 2, b(a_i ) = b(a₁+ a₂ ) = ba₁+ ba₂ = ba_i

2. Пусть теорема верна при n = k, докажем для n = k+ 1

b(a_i ) = b(a_i + a_k+1 ) = ba_i + ba_k+1 = (ba_i) + ba_k+1 = ( ba_i )

Теорема доказана для любого натурального числа n.

Следствие.

( a_i )∙ (b_j ) = a_i b_j =a_i b_j

Вычитание и деление натуральных чисел

Определение. Разностью двух чисел a и b называется натуральное число x = a – b, удовлетворяющее уравнению b + x = a.

Действие, с помощью которого находится разность чисел a и b, называется вычитанием. Число a называют уменьшаемым, а число b-вычитаемым.

Вычитание есть действие, обратное сложению.

Т. Разность двух чисел a-b существует тогда и только тогда, когда a > b. Если a-b существует, то она единственна.

Доказательство.

I Существование.

1) (a-b) существует, т.е. a-b = k, k

2) существование разности a-b = k

I I Единственность

Определение. Частным двух чисел a и b называется натуральное число , удовлетворяющее равенству bx = a.

Число a называют делимым, а число b-делителем. Действие, с помощью которого находится частное чисел a и b, называется делением.

Деление есть действие обратное умножению.

Т. Для того чтобы существовало частное двух чисел, необходимо (но недостаточно), чтобы . Если частное существует, то оно единственно.

Доказательство.

Пусть , если

Пусть уравнение bx = a имеет два решения x₁ и x₂

Вычитание и деление во множестве всех натуральных чисел не являются бинарными алгебраическими операциями, т.к. эти действия не всегда выполнимы.

Лекция 4.

Непротиворечивость, полнота и независимость аксиоматической теории натуральных чисел.

Основными требованиями, предъявляемыми к аксиомам данной теории, являются непротиворечивость, полнота и независимость.

Определение. Интерпретацией данной аксиоматической теории называется любое непустое множество M, для элементов которого установлены отношения(в частности, алгебраические операции), удовлетворяющие тем требованиям, которые высказаны в аксиомах этой теории.

Интерпретация данной аксиоматической теории позволяет прилагать эту теорию к изучению конкретных множеств. Делая логические выводы из систем аксиом, получим утверждения, справедливые для любого множества, являющегося интерпретацией этой теории. В этом состоит общность теории и границы ее применений.

I Непротиворечивость.

Определение. Система аксиом называется непротиворечивой, если на ее основании нельзя получить как следствие два противоречащих друг другу утверждения.

Непротиворечивость аксиоматической теории доказывается построением какой-нибудь интерпретации этой системы, непротиворечивость которой уже доказана, т.е. вопрос непротиворечивости данной теории не может быть решен в рамках данной теории. (Например, вопрос о непротиворечивости геометрии Лобачевского может быть решен так: если непротиворечива теория арифметики, то непротиворечива геометрия Евклида, а из непротиворечивости геометрии Евклида следует непротиворечивость геометрии Лобачевского).

При доказательстве непротиворечивости содержательной арифметической теории не на что опираться. Обычно ссылаются на весь исторический опыт развития математики и ее приложений в практике. Никогда никто не встречал в своей практике фактов, которые бы противоречили выводам, полученным в арифметике.

II Независимость.

Определение. Система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом не является следствием остальных аксиом системы.

Для доказательства независимости какой-либо аксиомы от остальных аксиом системы достаточно найти интерпретацию, в которой выполняются все аксиомы системы, кроме исследуемой, причем исследуемая аксиома в найденной интерпретации не должна выполняться. Для доказательства независимости всей системы аксиом надо доказать независимость каждой аксиомы от остальных аксиом, следовательно, придется отыскивать столько интерпретаций, сколько аксиом содержится в данной системе.

Рассмотрим одно из возможных доказательств независимости системы аксиом Пеано. Для доказательства независимости первой аксиомы от остальных аксиом первые три аксиомы сохраним в прежней формулировке, а аксиому индукции сформулируем в следующем виде:

А₄^*: Каждое непустое множество натуральных чисел M совпадает с множеством натуральных чисел N, если оно обладает следующими двумя свойствами:

1°. Если существует число 1, не следующее ни за каким другим числом, то 1

2°. Если число n, то и следующее число n’.

А₁:

Постоим модель (интерпретацию), где выполняются аксиомы .

Рассмотрим N = {a, b, c}, a, b, c – назовем “натуральными числами”. Основное отношение “следует за” определим стрелками на чертеже (b следует за a).

В этой интерпретации первая аксиома Пеано не выполняется, т.к. нет “числа”, которое не следовало бы ни за каким другим “числом”. Аксиомы 2, 3 и 4* выполняются. Например, проверим выполнение аксиомы 4*.

По условию, M – непустое множество “натуральных чисел” значит, оно содержит хотя бы одно “число” из N, но тогда, по свойству 2°, M содержит и все остальные “числа” из N.

Пусть a, по 2° M = n

Утверждение доказано.

А₂:

Строим интерпретацию системы аксиом .

Рассмотрим N = {1, a, b}, элементы 1, a, b – назовем “натуральными числами”. Расположим эти “числа” в порядке их следования .

Тогда A₁ выполняется

A₂ нет, т.к. для элемента b нет следующего элемента

A₃ имеет место (не более одного предшествующего)

A₄

А₃:

Строим интерпретацию

N = {1, a, b, c, d}

A₁ выполняется

A₂ выполняется

A₃ нет, т.к. элемент b следует за двумя элементами a и d

A₄ выполняется

А₄:

Строим интерпретацию системы аксиом

Пусть множество “натуральных чисел” N состоит из двух непересекающихся подмножеств P и Q.

В этой интерпретации выполняются аксиомы 1, 2, 3, но не выполняется А₄, т.к. M содержит1 вместе с каждым содержащимся в нем “числом” n содержит следующее “число” n’ , но не содержит элементов из множества P, т.е.

Независимость систем аксиом Пеано доказана.

I I I Полнота системы аксиом Пеано

Определение 1. Система аксиом называется полной, если любые две ее интерпретации изоморфны.

Полнота в этом смысле называется ее категоричностью.

Определение 2. Система аксиом называется полной, если всякое предложение этой теории можно доказать или опровергнуть (т.е. из любых двух высказываний и не менее одного является теоремой).

Для доказательства полноты по второму определению необходимо, чтобы логические средства были включены в данную теорию, т.е. теория должна быть формализована в отличии от содержательной.

Поскольку мы рассматриваем содержательную аксиоматическую теорию натуральных чисел, то докажем полноту системы аксиом Пеано первому определению (категоричность).

Определение. Две интерпретации M и данной системы аксиом называются изоморфными, если они изоморфны относительно всех соотношений, указанных в этой системе аксиом.

Теорема. Система аксиом Пеано является полной.

Доказательство.

Пусть даны две интерпретации аксиом Пеано N и . Каждая из них содержит “единицу”, которая не следует ни за каким элементом того же множества (А₁). Эти единицы обозначим e и . Установим соответствие между элементами множеств N и по следующему правилу:

1)

2) Если , то полагаем, по определению, .

При таком соответствии каждый элемент из N будет иметь один, и только один, образ в , т.к. e имеет один, и только один, образ , если a имеет один, и только один, образ , то и a’ имеет один, и только один, образ по принципу математической индукции утверждение справедливо для любого a.

Обратно, если , то (любое число имеет единственное предшествующее число b a = b’) b имеет в N предшествующее число, т.е. b = a’. Тогда , т.е. элемент имеет в N один, и только один прообраз e .

Пусть имеет в N один, и только один, прообраз c, тогда , т.е. имеет в N не менее один прообраз c′. Если n-любой прообраз элемента , то , т.е. n = m′. Тогда .

Т.к. c-единственный элемент, отображающийся в , то c = m, а по А₂ получаем c′ = m′ = n, т.е. c′ - единственный прообраз элемента . По математической индукции любой элемент имеет один, и только один, прообраз в N .

Этим доказано, что установленное соответствие между элементами множеств N и является взаимнооднозначным. Остается еще показать, что при этом соответствие сохраняется отношение “следует за”.

Если b следует за a, т.е. b = a′, то это же верно и для их образов, т.к. из b = a′ следует . Обратно, из следует b = a′. Теорема доказана.

Следствие. При установленном взаимнооднозначном соответствии сохраняется сложение, умножение и порядок, т.е. из a + b = c, ab = d, a>b всегда следуют верные соотношения , и обратно.

Изоморфизм.

Расширение колец, полей и других алгебр.

Разбиение множества на классы.

Пусть M и - две алгебры с двумя бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения.

M и будут изоморфными, если между их элементами установлено взаимнооднозначное соответствие, такое, что сохраняет обе указанные операции.

Если M , то справедливы следующие свойства:

1. a + b = b + a

2. (a + b) + c = a + (b + c)

3. ab = ba

4. (ab)c = a(bc)

5. (a + b)c = ac + bc

6. если множество M содержит 0, то и множество содержит , причем a + 0 = a , т.е.

7. Если множество M содержит вместе с элементом a и элемент –a, то a + (-a) = 0 , т.е. и в для элемента существует противоположный ему элемент ,

8. Если множество M содержит единичный элемент e, то и в множестве содержится единичный элемент , т.к. , причем

9. Если множество M содержит вместе с элементом и элемент, ему обратный a^-1, то и множество вместе с элементом содержит , причем , т.к.

Если M относительно сложения – группа, то и относительно сложения будет группой, если M относительно обеих алгебраических операций, определенных в нем, является кольцом (телом, полем), то и множество относительно своих операций будет кольцом (телом, полем). Все выводы, полученные для одного из изоморфных между собой алгебр, автоматически переносятся и на другую алгебру, если эти выводы опирались только на общие свойства алгебраических операций.

Определение. Если множество M с двумя алгебраическими операциями (сложением и умножением) содержится в кольце K относительно этих же операций, то кольцо K называется расширением множества M. Если при этом множество M само является кольцом по отношению к тем же операциям, то M называется подкольцом кольца K.

Т. Пусть даны кольцо и M с двумя алгебраическими операциями – сложением и умножением, причем и M не пересекающиеся. Если кольцо содержит , изоморфное M относительно операций, определенных в кольце и M, то существует кольцо K, изоморфное и являющееся расширением M.

Доказательство.

Произведем замену всех элементов подмножества в кольце соответствующими им при изоморфизме элементами из M. Затем определим суммы и произведения незамещенных и замещенных элементов так, чтобы результаты совпадали с результатами операций кольца .

Например, если до замены было и , и если и заменяются соответственно на a и c, а и остаются на месте, то по определению полагаем

и

Этим способом из кольца получаем кольцо K, действительно являющееся расширением M, причем

Если является телом (полем), то и K так же будет телом (полем).

Определение. Кольцо K, являющееся расширением M с двумя алгебраическими операциями – сложением и умножением, называется минимальным кольцом, содержащим M, если K не имеет отличного от себя подкольца, содержащего M.

Разбиение множества на классы

Рассмотрим вопрос о разбиении множества M на классы и, связанное с этим, отношение эквивалентности.

Если множество M разбито на попарно непересекающиеся непустые подмножества, исчерпывающие все множество, то говорят, что множество M разбито на классы.

Определение. Если множество M разбито на классы, то два элемента a и b данного множества называются эквивалентными по отношению данному разбиению тогда, и только тогда, когда они принадлежат одному и тому же классу.

a ~ b

Отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Теорема. Если по какому-нибудь признаку между элементами множества M установлено отношение эквивалентности, то оно полностью определяет разбиение множества M на классы попарно эквивалентных элементов. При этом для каждой пары элементов a и b из M имеет место одно, и только одно, из отношений: либо a ~ b, либо элемент a не эквивалентен элементу b.

Доказательство.

Обозначим класс элементов эквивалентных элементу a через K(a). Тогда элементы одного и того же класса будут попарно эквивалентны.

b ~ a

c ~ a b ~ c

Если некоторый элемент эквивалентен некоторому элементу, то он принадлежит этому классу.

d ~ b b ~ a d ~ b d ~ a

Пусть , то покажем это.

Предположим, что есть элемент и d ~ a и d ~ cc ~ a, что противоречит выбору c.

Построенные классы исчерпывают все множество M, т.к. каждый элемент a из M принадлежит некоторому классу K(a). Любые два класса K(a) и K(b) либо не пересекаются, либо совпадают.

Следствие. K(a) = K(b) a ~ b

Если множество M, в котором определены алгебраические операции, разбито на классы попарно эквивалентных элементов, то эти же операции можно определить и во множестве K этих классов.

Если a + b = c и ab = d, то K(a) + K(b) = K(c)

K(a) K(b) = K(d)

Метод разбиения множества M на классы используем в дальнейшем для построения различных числовых систем. Для построения же исходного множества M каждый раз будем использовать элементы ранее построенных множеств, начиная с множества натуральных чисел N, которое считаем уже построенным.

Лекция 5