Задание на курсовую работу

Содержание

Задание на курсовую работу 2

Введение 4

Задание №1 5

Задание №2 7

Задание №3 11

Задание №4 14

Задание №5 16

Заключение 17

Список литературы 18

Введение

Моя курсовая работа основана на изучении структуры кристаллической решётки TiO₂ (рутил). Тема изучения строения кристаллов является наиболее актуальной и современной в наше время, поскольку металлы широко используются в промышленности, военной технике, в полупроводниковых приборах, отраслях, целиком базирующихся на использовании своеобразных свойств кристаллов.

Цель курсовой работы – описать строение кристаллической решетки данного вещества, при этом указать сингонию, пространственную и точечную группу симметрии кристалла, образующий генератор; изобразить стереографическую проекцию всех элементов симметрии кристалла; показать направления и плоскости для трехосной и четырехосной системы координат; изложить основные теоретические вопросы. Я считаю, что всё это необходимо знать для специалистов, которые занимаются в области физики твердого тела и физического материаловедения. Все указанные вопросы подробно описаны в курсовой работе.

Задание №1

Кубический кристалл имеет форму ромбической призмы, грань B и C которой имеют индексы (010) и (100) соответственно, а нормаль к грани А образует с нормалями к граням B и C углы φ_АВ и φ_АС (φ_АВ = 30º, φ_АС = 40º) . Линии пересечения планарного дефекта с гранями А и В образуют с линией пересечения этих граней соответственно углы Θ_А = 75º и Θ_В =30º _.

Путем построений на стереографической проекции определить:

- индексы Миллера грани А;

- индексы Миллера планарного дефекта

Решение

В центр помещается нормаль к грани B, n_B. Поскольку кристалл является кубическим, то нормали к граням В (010) и С (100) перпендикулярны друг к другу, следовательно n_С будет находиться на большом круге проекции. Чтобы найти нормаль к грани А, необходимо построить геометрическое место точек, равноудаленных от n_B и n_С на углы φ_АВ = 30º, φ_АС = 40º соответственно, точка пересечения этих дуг и будет проекцией нормали к грани А. При пересечении проекций грани А и грани В (n_А , n_B) получились точки M и N, лежащие на линии пересечения этих граней. Затем, для того чтобы построить проекцию плоскости дефекта, отмеряем от точки N по проекции грани В против хода часовой стрелки угол Θ_В=30º, и от точки М по проекции грани А по ходу часовой стрелки угол Θ_А = 75º. Помещаем полученные точки d₁ и d₂ на один меридиан, являющийся проекцией плоскости дефекта D, отмерив от этого меридиана по экватору 90º, получим проекцию нормали к плоскости дефекта n_D.

- Из рисунка 1 видно, что индексы Миллера пропорциональны косинусам углов α, β и γ. Чтобы определить индексы Миллера грани А и плоскости дефекта необходимо найти полюс [001] как точку, удаленную на 90º от полюсов [100] (n_С) и [010] (n_В), так, чтобы тройка векторов [100], [010] и [001] была правой. Затем измеряем по меридианам углы αА, βА и γА между нормалью n_А и полюсами [100], [010] и [001] соответственно:

αА = 30º, cos αА = 0,86

βА = 40º, cos βА = 0,76

γА = 110º, cos γА = -0, 34

cos αА: cos βА: cos γА ≈ 1:1: (-2)

Следовательно, грань А имеет индексы (11 ).

- Аналогично находим индексы Миллера планарного дефекта:

αD= 62º, cos αD = 0,469

βD = 52º, cos βD = 0, 615

γD = 130º, cos γD = -0,642

cos αD: cos βD: cos γD ≈ 1:3: (-3)

Следовательно, планарный дефект имеет индексы (13 ).

Рисунок 1

Задание №2

Для структуры TiO₂ (рутил):

а) изобразить элементарную ячейку, указав сингонию, пространственную и точечную группу симметрии кристалла, координаты всех атомов ячейки;

б) показать на отдельном рисунке элементарной ячейки расположение элементов симметрии образующего генератора пространственной группы симметрии. Изобразить решетку Бравэ;

в) изобразить стереографическую проекцию всех элементов симметрии кристалла и эквивалентных направлений

Решение

а) Согласно [1] автору [1], структура кристалла - это конкретное расположение частиц в пространстве. Описывая структуру, надо указать ее вид, размер частиц и расстояния между ними. Но так как многие структуры сходны, можно указать лишь относительное расположение частиц (атомов или атомных групп) в кристалле, а не абсолютное расстояние между ними. Так определяется структурный тип. Также при описании структуры нужно указать сингонию (в сингонию объединяются кристаллы, у которых одинакова симметрия элементарных ячеек их структур и одинакова кристаллографическая система координат), пространственную группу симметрии (совокупность всех возможных элементов симметрии кристаллической структуры) и точечную группу симметрии кристалла, координаты всех атомов ячейки, структурный мотив (группа атомов, образующих химическую формулу данного вещества).

Основой структуры TiO₂ (рутил) является примитивная тетрагональная решётка с соотношением c/a≈0,65. Элементарная ячейка данного кристалла представлена на рисунке 2.

В ней атомы титана (Ti) располагаются в позициях (000) и (¹/₂, ¹/₂ , ¹/₂); атомы кислорода (O) – в позициях ±( , ,0) и ( + ¹/₂ , ¹/₂ - , ¹/₂), где близко к 0,3.

- атом титана (Ti)

- атом кислорода (O)

Рисунок 2

На элементарную ячейку приходится по две формульные единицы. Координационные многогранники – это октаэдр и треугольник. Атом кислорода окружен атомами титана. Каждый атом титана окружен шестью атомами кислорода, образующими неправильный октаэдр. Структуру рутила имеют соединения CoF₂, FeF₂, MgF₂, GeO₂, MnF₂, MnO₂, MoO₂.

Пространственная группа симметрии для кристалла TiO₂ (рутил) имеет вид Р4₂ /mnm и означает, что в примитивной тетрагональной ячейке (на первом месте стоит буква, обозна­чающая тип решетки Бравэ - в данном случае решетка типа Р, т.е. примитивная) имеется винтовая ось 4-го порядка, действие которой сводится к повороту на элементарный угол и смещению вдоль этой оси на определённую часть трансляции (в нашем случае величина скольжения t =1/2); перпендикулярная ей плоскость симметрии (m), а также координатная плоскость скользящего отражения (n) вдоль этой оси, действие которой сводится на отражение граней элементарной ячейки и смещение вдоль диагоналей грани на 1/2 трансляции, и диагональная плоскость симметрии (m) вдоль этой оси.

Точечную группу симметрии, согласно [2] автору [2], легко получить из пространственной путём замены винтовых осей поворотными осями, а плоскостей скользящего отражения - плоскостями зеркального. Для кристалла TiO₂ точечная группа симметрии имеет вид 4/mmm и относится к планаксиальному классу, в котором нет полярных направлений.

Согласно [4] автору [4], символ этого класса 4/mmm можно записывать более подробно: 4/m 2/m 2/m, т.е имеется единственная ось 4-го порядка, параллельная оси Z, и плоскость m, перпендикулярная к ней (4_[001] m_[001]):оси 2-го порядка в координатных направлениях [100] и [010] и плоскости m, нормальные к этим осям; оси 2-го порядка в диагональных направлениях и плоскости m, нормальные к ним.

б) Образующий генератор элементов симметрии для кристалла TiO₂ (рутил) представлен на рисунке 3. В него входят примитивная тетрагональная решетка, у которой узлы находятся в вершинах, винтовая ось 4-го порядка, действие которой сводится к повороту на элементарный угол 90º и смещению вдоль оси на 1/2 трансляции, перпендикулярная ей плоскость симметрии m, а также координатная плоскость скользящего отражения n и диагональная плоскость симметрии m вдоль этой оси.

Рисунок 3 - расположение элементов симметрии образующего генератора группы

Каждая решетка Бравэ – это группа трансляций, характеризующих расположение материальных частиц в пространстве. Любую кристаллическую структуру можно представить с помощью одной из 14 решеток Бравэ. Примитивная тетрагональная решетка Бравэ для кристалла TiO₂ (рутил) изображена на рисунке 4

Рисунок 4 –примитивная тетрагональная решетка Бравэ.

в) Стереографическая проекция всех элементов симметрии точечной группы кристалла TiO₂ (рутил) изображена на рисунке 5. В нее входят ось четвертого порядка, четыре оси второго порядка, пять плоскос­тей зеркального отражения, а также центр инверсии, т.е. L₄ 4L₂ 5 РС.

Рисунок 5 – стереографическая проекция всех элементов точечной группы симметрии.

Задание №3

В пределах одной элементарной ячейки изобразить направления и плоскости для трехосной системы координат [10 ], [3 1], (10 ),(3 1) и четырехосной систем координат [11 1], [2 0], ( 101)

Решение

Как говорит [1] автор [1], в кристаллографии принято характеризовать плоскости (или нормали к ним) не параметрами, а так называемыми индексами Миллера. Индексы Миллера – это величины, обратные параметрам Вейсса, приведенные к целым числам. Если параметры плоскости , то индексы Миллера определяются из соотношения: . Числа называются индексами плоскости и заключаются в круглые скобки ( ). Чтобы построить плоскость ( ), нужно нанести на осях координат отрезки , , ; через полученные таким образом точки проходит плоскость семейства ( ), ближайшая к началу координат.

Согласно [3] автору [3], для кристаллов тригональной и гексагональной сингонии используют четырехосную систему координат. Для обозначения символов плоскости и направлений в кристаллах с четырехосной системой координат используют четыре индекса , , , , соответствующие X, Y, U, Z осям. Впервые четырехосная система была введена Бравэ, а соответствующие индексы получили название индексов Миллера – Бравэ.

На рисунке 5 изображены кристаллографические оси X Y Z, параметры кубической решетки вдоль этих осей – a,b,c соответственно, направления и плоскости для трехосной системы координат:

Рисунок 5

На рисунке 6 изображены кристаллографические оси X Y Z, параметры кубической решетки a,b,c , направления и плоскости для четырехосной системы координат:

Рисунок 6