3 Моделирование экономических систем
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ
При моделировании процессов, происходящих в экономических системах, приходится сталкиваться с ситуациями, когда поведение системы характеризуется случайными неконтролируемыми факторами. В этом случае говорят, что система функционирует по схеме случайных процессов, ход протекания которых и исход зависят от случайных факторов.
Пусть имеется некоторая система S, состояние которой меняется с течением времени. Под системой S может пониматься техническая система (устройство, машина) или экономическая (предприятие или его подразделение). Если состояние системы S меняется во времени случайным, заранее непредсказуемым образом, говорят, что в системе протекает случайный процесс. Рассмотрим марковские процессы, или “процессы без последействия”.
Случайный процесс называется марковским, если он обладает следующим свойством: для любого момента времени t0 вероятность любого состояния системы S в будущем (при t t0 ) зависит только от ее состояния в настоящем (при t = t0 ) и не зависит от того, когда и каким образом система S пришла в это состояние (т.е. как развивался процесс в прошлом).
Обозначим S1, S2, …, Sn,… - возможные состояния моделируемой системы S. Если множество состояний системы конечно (S1, S2, …, Sn), то это - дискретное множество. В случае дискретного множества состояний система меняет свои состояния скачком (мгновенно).
Марковские процессы с дискретными состояниями изображают в виде графа состояний (рисунок 4), где кружками обозначены состояния
S1, S2, …, Sn системы S, а стрелками – возможные переходы из состояния в состояние. Если система остается в прежнем состоянии, на графе это показывают «петлей».
Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и дискретным временем называют марковской цепью. Для такого процесса моменты t1, t2, …, когда система S может менять свое состояние, рассматривают как последовательные шаги процесса, а в качестве аргумента, от которого зависит процесс, выступает не время t, а номер шага 1,2,…,k, … Случайный процесс в этом случае характеризуется последовательностью
S (0), S (1), S (2), …, S(k), …,
где S(0) – начальное состояние системы перед первым шагом;
S(1) – состояние системы после первого шага;
S(k) – состояние системы после k-го шага.
Рисунок 4 – Граф состояний системы S
Вероятностями состояний марковской цепи называются вероятности Pi(k) того, что после k-го шага (и до (k+1)-го ) система S будет находиться в состоянии Si (i=1,2, …, n). Если переходные вероятности не зависят от номера шага, а зависят только от того, из какого исходного состояния (Si) в какое новое состояние (Sj) осуществляется переход, такая марковская цепь называется однородной.
Начальным распределением вероятностей марковской цепи называется распределение вероятностей состояний в начале процесса:
Р1(0), Р2(0),…, Рi(0),…, Рn(0). (4)
Вероятности переходов из состояния Si в состояние Sj за один переход обозначим Pij. Полная вероятностная картина изменений системы S задается матрицей:
(5)
Матрицу P называют матрицей переходов или переходной матрицей.