2.3 Задача определения оптимального плана обновления

оборудования

Важной экономической проблемой является своевременное обновление оборудования. Старение оборудования включает физический и моральный износ, в результате чего растут затраты на ремонт и обслуживание, снижается производительность труда и ликвидная стоимость. Задача определения оптимальных сроков замены оборудования относится к задачам динамического программирования.

Постановка задачи. Имеется оборудование возраста t лет. Плановый период – n лет. Ежегодно производится продукция общей стоимостью R(t). При этом оборудование требует затрат на содержание и ремонт U(t). В любой год оборудование можно сохранить или купить новое по цене P.

Требуется определить оптимальный цикл замены оборудования, при котором общий доход от использования оборудования за весь плановый период будет максимальным.

Решение. При составлении математической модели процесс замены рассматривается как n-шаговый, т.е. период эксплуатации разбивается на n шагов. Причем возраст оборудования отсчитывается в прямом направлении, а этапы, на которые разбит процесс – в обратном. Таким образом, возраст

t = 0 соответствует началу использования нового оборудования (рисунок 3).

В данной задаче на каждом шаге управления всего две альтернативы – сохранять старое оборудование или покупать новое.

t

2

0

3

1

2

3

0

n

1

Рисунок 3 – Схема n-шагового процесса

Суммарный доход при сохранении машины равен доходу в очередной год R(t)-U(t) плюс доход от машины возраста (t+1) год при оставшихся (n-1) годах. В случае замены машины суммарный доход будет равен доходу в очередной год от использования новой машины плюс доход от машины возраста один год при оставшихся (n-1) годах с вычетом стоимости машины.

Математически это можно записать в виде:

, (1)

где верхняя строка определяет прибыль, которая может быть получена при работе на старом оборудовании, нижняя – при его замене. При этом предполагается, что переход к работе на новом оборудовании происходит за один этап.

Обозначим d(t) = R(t) - U(t). Тогда уравнение (1) примет вид

. (2)

При n=1 слагаемые F_n-1(t+1) и F_n-1(1) не имеют смысла и поэтому из уравнения исключаются:

. (3)

Уравнения (1) и (2) позволяют определить величину F_n(t) в зависимости от F_n-1(t+1). При переходе от одного этапа к другому возраст оборудования увеличивается от t до (t + 1), а число оставшихся этапов уменьшается от n до (n-1).

Пример. Рассчитать оптимальный план замены оборудования на период продолжительностью 6 лет, если стоимость нового оборудования равна 12 тыс.руб., а возраст оборудования составляет 1 год. Значения годового выпуска продукции в стоимостном выражении R(t) и затрат на эксплуатацию оборудования U(t) приведены в таблице 1.

Таблица 1 – Исходные данные

t	0	1	2	3	4	5	6
R(t)	27	26	26	25	24	23	23
U(t)	15	16	17	18	20	22	23

Вычислим значения d(t) и запишем их в таблицу 2.

Таблица 2 – Зависимость ежегодного дохода от возраста оборудования

t	0	1	2	3	4	5	6
d(t)	12	10	9	7	4	1	0

Последовательно вычислим максимальные значения F_n(t) для

n=1, 2,…,6 при t = 0,1,2,…,6.

При n = 1 процесс одноэтапный, поэтому значения F₁(t) находим с помощью уравнения (3):

.

Результаты вычислений запишем в таблицу 3.

При n = 2 и t = 0,1,…,6 последовательно получаем:

…………

…………

…………..

Таблица 3 – Результаты условной оптимизации

t Fn(t)	0	1	2	3	4	5	6
F1(t)	12	10	9	7	4	1	0
F2(t)	22	19	16	11	10	10	10
F3(t)	31	26	20	19	19	19	19
F4(t)	38	30	28	26	26	26	26
F5(t)	42	38	35	33	30	30	30
F6(t)	50	47	42	38	38	38	38
Оптимальное управление	Сохранение			Замена

Проведем в таблице 3 линию, разграничивающую элементы, соответствующие различным оптимальным управлениям (когда максимальному значению в формуле (2) соответствует первая или вторая строка).

Определим сроки замены оборудования:

6-й год

сохранение

F

4-й год

сохранение

3-й год

замена

2-й год

сохранение

1-й год

сохранение

₆(1) F₅(2) F₄(3) F ₃(1)

5-й год

сохранение

F₂(2) F₁(3)

В рассматриваемом плановом периоде оборудование следует заменить через 3 года.