21.3. Коливання пружинного маятника

Рис. 21.3

Закріпимо на кінці пружини тіло масою m, що може вільно (без тертя) переміщатися уздовж стрижня (рис. 21.3). При зміщенні тіла на величину x від положення рівноваги виникає пружна сила (див. § 2.6) F=-kx, яка намагається повернути тіло в положення рівноваги. Якщо відпустити тіло, то під дією цієї сили воно почне рухатися.

Для знаходження рівняння руху скористаємося другим законом Ньютона:

.

(21.7)

Порівнюючи (21.6) і (21.7), бачимо, що пружинний маятник виконує коливання із частотою

.

(21.8)

Період коливань пружинного маятника

.

Слід зазначити, що всі пружно деформовані тіла набувають коливального руху, частота якого визначається загальною формулою (21.8), однак значення коефіцієнта пружності (твердості) в кожному конкретному випадку різні. Так, пружно коливаються деталі суднового набору, вали, трубопроводи й т.д.

Рис. 21.4

21.4. Коливання фізичного маятника

Фізичним маятником називається тіло, що виконує коливання в полі тяжіння Землі навколо горизонтальної осі, що не проходить через центр мас (рис. 21.4).

Нехай O — вісь обертання маятника, а C — центр його ваги. При відхиленні маятника від вертикалі на кут  виникає складова ваги тіла , яка намагається повернути маятник у положення рівноваги. Момент цієї сили

,

де l — відстань від центра ваги до осі обертання, а знак мінус показує, що момент сил діє так само, як і пружна сила, прагнучи повернути маятник у положення рівноваги.

Для складання рівняння руху маятника скористаємося основним законом динаміки для обертального руху (див. §4.2):

Для малих кутів відхилення sin  = , тому

(21.9)

У рівнянні (21.9) — кутове прискорення; I — момент інерції маятника відносно осі обертання. Зіставляючи (21.9) і (21.6), доходимо висновку про те, що фізичний маятник виконує гармонічні коливання з частотою:

.

Період коливань фізичного маятника

.

(21.10)

Матеріальна точка, підвішена на невагомій нерозтяжній нитці, являє собою математичний маятник. У цьому випадку момент її інерції I=ml² (де l — довжина нитки), тому період коливань математичного маятника

.

(21.11)

Фізичний маятник, крім очевидного застосування в годинниках, використовується для визначення прискорення вільного падіння з метою гравіметричних досліджень надр Землі, а також у системах керування літальними й підводними апаратами по тангажу.

21.5. Вертикальні коливання центра ваги судна

При зануренні судна на додаткову (стосовно рівноважного положення) глибину z (рис. 21.5) виникає додаткова виштовхна сила, яка згідно із законом Архімеда становить

,

де S(z) — площа, обмежена ватерлінією.

Для складання рівняння руху скористаємося другим законом Ньютона:

.

Рис. 21.5

Припустимо, що S(z)=const. Це припущення законно для суден з дуже довгим і високим корпусом, міделевий переріз яких обмежений приблизно прямовисними бортами. Для обводів криголамного й напівкриголамного типу воно, зрозуміло, не відповідає дійсності. Якщо S(z) = S = const, то

.

(21.12)

Це рівняння гармонічних коливань із циклічною частотою:

.

Період вертикальних коливань центра ваги судна

.