Частина 4. Фізика коливань і хвиль

21. Коливання

21.1. Загальна характеристика коливальних процесів

Коливаннями називаються рухи або процеси, які мають той чи інший ступінь повторюваності в часі.

У техніці коливальні процеси використовують в спеціальних пристроях, які можуть виконувати певні функціональні навантаження (маятник, коливальний контур, генератор коливань тощо), а також можуть виникати як неминучий прояв фізичних властивостей (вібрація машин і механізмів, втрата стійкості й коливальні потоки при русі тіл у рідинах і газах тощо).

У міру вивчення коливань різної фізичної природи виникло переконання про можливість єдиного підходу до них, заснованого на розгляді найбільш загальних властивостей і закономірностей коливальних процесів.

Рис. 21.1

Коливання називаються періодичними, якщо система через певні рівні проміжки часу, так званий період коливань, проходить через одні й ті самі стани. Такі коливання описуються періодичними функціями від часу

де x(t) — зміщення від положення рівноваги в момент часу t; T — період коливань.

Прикладом періодичних коливань служать прямокутні, пилкоподібні та гармонічні коливання (рис. 21.1). Особливо важливу роль у фізиці грають гармонічні коливання, у яких залежність зміщення від часу визначається гармонічним законом

(21.1)

або

(21.2)

Тут A — амплітуда коливань, тобто максимальне по модулю зміщення від положення рівноваги; ₀ — циклічна (або кругова) частота коливань, рівна числу повних коливань, виконуваних за час 2 секунд. Зручно також характеризувати періодичні коливання лінійною частотою , що дорівнює числу повних коливань, виконуваних за 1 с. Одиниця лінійної частоти один герц (Гц) — частота такого коливального руху, у якому за 1 с виконується одне повне коливання.

У формулах (21.1) і (21.2) аргумент тригонометричної функції являє собою фазу, що показує, яка частина коливання виконана до даного моменту часу, якщо повному коливанню зіставити значення 2. Звичайно виділяють поточну фазу , значення якої змінюється з часом, і початкову фазу , що визначає зміщення у початковий момент часу (t=0).

Гармонічні коливання (21.1) і (21.2) зручно також представляти в комплексній формі:

(21.3)

Треба при цьому пам'ятати, що фізичний зміст має дійсна або уявна частина (21.3).

21.2. Диференціальне рівняння гармонічних коливань

Виходячи з (21.1), можна одержати вираз для швидкості v і прискорення a у гармонічному русі:

;	(21.4)
.	(21.5)

Використовуючи комплексну форму гармонічного коливання (21.3), можна одержати еквівалентні вирази для швидкості та прискорення:

;	(21.4а)
.	(21.5а)

Якщо скористатися формулою Ейлера (див. математичну довідку) і взяти дійсну частину виразів (21.4а) і (21.5а), то дістанемо (21.4) і (21.5). Якщо початок відліку часу вибрати так, щоб , то