7. Бесконечно малые последовательности. Необходимое и достаточное условие существование предела последовательности. Свойства бесконечно малых последовательностей.

Последовательность (α_n) называется бесконечно малой, если lim _{n → ∞} α_n = 0.

lim _{n → ∞} α_n = 0  ( > 0) ( N() = NN) такой, что n > N выполняется |α_n| < .

Необходимое и достаточное условие существование предела: lim _{n → ∞} x_n = а тогда и только тогда, когда существует бесконечно малая последовательность (α_n) такая, что x_n = a +α_n.

Доказательство:

1) Необходимость.

Пусть lim _{n → ∞} x_n = а. Это значит, что

( > 0) ( NN) | ( n > N): |х_n - а| < .

Обозначим х_n – а = α_n. Тогда x_n = a +α_n и ( > 0) ( NN) | ( n > N): |α_n| < , т.е. (α_n) – бесконечно малая последовательность.

2) Достаточность.

Пусть x_n = a + α_n, где(α_n) – бесконечно малая последовательность, т.е.

( > 0) ( NN) | ( n > N): |α_n| < 

 Но так как α_n = х_n – а, то ( > 0) ( NN) | ( n > N): |х_n - а| < , т.е.  lim _{n → ∞} x_n = а.

Свойства бесконечно малых последовательностей:

1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

2) Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

3) Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность (в т.ч. на постоянную) есть бесконечно малая последовательность.

8. Бесконечно большие последовательности. Неограниченные последовательности. Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.

Последовательность (х_n) называется бесконечно большой, если lim _{n → ∞} х_n = ∞.

lim _{n → ∞} x_n = ∞  (M > 0) ( N(M) = NN) такой, что n > N выполняется |x_n| > M.

Бесконечно большая последовательность есть последовательность неограниченная, но в то же время неограниченная последовательность не обязательно бесконечно большая.

Свойства бесконечно больших последовательностей:

1) Произведение бесконечно большой последовательности на последовательность, предел которой отличен от нуля, есть бесконечно большая последовательность.

2) Сумма бесконечно большой последовательности и ограниченной последовательности есть бесконечно большая последовательность.

3) Частное от деления бесконечно большой последовательности на последовательность, имеющую предел, есть бесконечно большая последовательность.

Теорема: Если последовательность х_n – бесконечно большая, то последовательность 1/х_n – бесконечно малая. И наоборот.

Доказательство:

1) Достаточно взять  = 1/М.

Тогда х_n > M

1/х_n < 1/M

1/х_n <  => последовательность 1/х_n – бесконечно малая.

2) M = 1/

х_n < 

1/х_n > 1/

1/х_n > M => последовательность 1/х_n – бесконечно большая.

9. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число «е».

Теорема: Если числовая последовательность (х_n) монотонна и ограниченна, то она имеет предел.

Доказательство:

Пусть последовательность (х_n) возрастает и ограничена сверху =>  sup х_n – наименьшая из всех верхних границ последовательности.

Покажем, что lim _{n → ∞} x_n =а.

Рассмотрим (а - ; а + ). Хотя бы одно х_n принадлежит этой окрестности. В противном случае они находятся слева от (а - ) или справа от (а + ). Тогда а ≠ sup х_n.

Т.к. x_N  (а - ; а + ), то (n > N_) х_n > x_N > а - .

С другой стороны, х_n ≤ a = sup х_n.

Значит, а -  < x_N ≤ a.

( > 0) ( N_N) | ( n > N_) (а -  < x_n ≤ a < a + )

А это означает, что lim _{n → ∞} x_n =а.

Число «е»: Рассмотрим последовательность x_n = (1 + 1/n)ⁿ

1) Используя формулу бинома Ньютона, получим:

x_n = 1 + n*1/n + n(n-1)/2!*1/n² + … + n(n-1)…(n-k+1)/k!*1/n^k + … + n(n-1)…(n-n+1)/n!*1/nⁿ =

= 1 + 1 + (1-1/n)/2! +…+ 1/k!*(1-1/n)(1-2/n)…(1-(k-1)/n) +…+ 1/n!*(1-1/n)(1-2/n)…(1-(n-1)/n)

x_n+1 = 1 + 1 + (1-1/(n+1))/2! +…+ 1/k!*(1-1/(n+1))(1-2/(n+1))…(1-(k-1)/(n+1)) +…+ 1/n!*(1- -1/(n+1))(1-2/(n+1))…(1-n/(n+1))

Т.к. 1 – k/n < 1 – k/(n+1), то x_n+1 > x_n, что означает, что последовательность монотонно возрастает.

2) Покажем теперь, что x_n ограничена сверху.

Действительно, так как 1 - k/n < 1, то x_n < 2 + 1/2! + 1/3! +…+ 1/n!

Но так как n! > 2^n-1 (при n ≥ 3), то 1/n! < 1/2^n-1 и

x_n = 1 + 1 + (1-1/n)/2! +… < 1 + 1 + 1/2!*1 +…+ 1/k! +…+ 1/n! < 1 + 1 + 1/2 + 1/2² +…+ 1/2^k-1 +…+ 1/2^n-1 = 1 + 1/(1-1/2) = 3

Значит, 2 ≤ x_n < 3 – последовательность ограничена и сверху и снизу.

3) Последовательность монотонно возрастает и ограничена, значит, имеет предел.

lim _{n → ∞} x_n = e.