1. Действительные числа. Модуль действительного числа и его свойства.

Если мы возьмем все числа вида ±m/n, где m и n – натуральные числа, и добавим число ноль, получим множество рациональных чисел Q. Как известно, любое натуральное число можно представить периодической десятичной дробью.

В математике рассматриваются также и иррациональные числа – множество I. В отличие от рациональных чисел иррациональные представляются бесконечными непериодическими дробями.

Объединение рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных (вещественных) чисел R: R = Q U I

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа х называется само число х, если х неотрицательно, и противоположное число –х, если х отрицательно.

По определению очевидно, что |x| ≥ 0.

Свойства модулей:

1) |x + y| ≤ |x| + |y|

2) |x – y| ≥ |x| - |y|

3) |xy| = |x|*|y|

4) |x/y| = |x|/|y|

Абсолютная величина разности двух чисел |x – a| означает расстояние между точками х и а числовой прямой как для случая x<a, так и для x>a (два рис.). Поэтому, например, решениями неравенства |x – a| < ɛ (где ɛ > 0) будут точки х интервала (а – ɛ, а + ɛ), удовлетворяющие неравенству а – ɛ < x < а + ɛ (рис).

Всякий интервал, содержащий точку а, называется окрестностью точки а. Интервал (а – ɛ, а + ɛ) называется ɛ-окрестностью точки а.

2. Множества и операции над множествами. Числовые множества. Ограниченные и неограниченные множества. Определение границ и граней числовых множеств. Теорема о существовании верхней грани ограниченного сверху множества.

Множество относится к простейшим, не определяемым через более простые понятиям. Под множеством понимается совокупность объектов, объединяемых по какому-то правилу или характерному свойству. Объекты, которые образуют множество, называются элементами, или точками, этого множества.

Множества обозначаются прописными буквами, а их элементы – строчными. Если а – элемент множества А, то используется запись а є А.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым.

Если множество В состоит из части элементов множества А или совпадает с ним, то множество В называется подмножеством множества А и обозначается В (входит в) А. Если А – непустое множество, то А имеет по крайней мере два подмножества: пустое и А.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Если множество А имеет n элементов, то А имеет 2ⁿ подмножеств.

Операции над множествами:

1) Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е. С = А U В.

А U В = { x | x є A U x є B }

n(А U В) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) – число элементов объединения множеств

2) Пересечением двух множеств А и В называется множество D, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств А и В, т.е. D = A ∩ B.

3) Разностью множеств А и В называется множество Е, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е. Е = А ‍\ В

А ‍\ В = { x є A ∩ x (не є) B }

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми: N – натуральных, Z – целых, Q – рациональных, R – действительных.

Множество X ограниченно снизу тогда и только тогда, когда mR: (xX) => (x≥m).

Множество X ограниченно сверху тогда и только тогда, когда MR: (xX) => (x≤M).

Множество X ограниченно тогда и только тогда, когда X ограниченно сверху и снизу:

m,MR: (xX) => (m≤x≤M).

Очевидно, что любое ограниченное сверху (снизу) множество имеет бесконечно много верхних (нижних) границ. Естественно возникает вопрос о существовании наименьшей из верхних границ ограниченного сверху множества и наибольшей из нижних границ ограниченного снизу множества.

Число  M называется  верхней гранью, если оно является наименьшим из всех верхних границ: M = sup X.

Число  m называется точной нижней гранью, если оно является наибольшим из всех нижних границ: m = inf X.

Теорема: Любое непустое ограниченное сверху числовое множество имеет точную верхнюю грань.

Доказательство

Пусть X – непустое множество, ограниченное сверху. Тогда существует множество Y чисел, ограничивающих множество Х сверху.

Из определения следует: (xX) (xX): х≤у.

Причем, сR: х≤с≤у, тогда т.к.  х≤с, то с - верхняя грань, т.к. с≤у, с - наименьшая из верхних граней, следовательно с = sup X.