2.1.10 Розрахункові формули для суми
Обчислювальний алгоритм однофакторного дисперсійного аналізу спрощується, якщо для розрахунку сум квадратів відхилень використовувати перетворення
.
(2.37)
Тоді для сум отримуємо зручні розрахункові формули:
(2.38)
(2.39)
.
(2.40)
Таким чином, для проведення дисперсійного аналізу достатньо зробити такі попередні обчислення:
1) підсумки спостережень за серіями
(2.41)
2) сума квадратів усіх спостережень
(2.42)
3) сума квадратів підсумків за серіями, поділена на кількість спостережень в серії
(2.43)
4) квадрат загального підсумку, поділений на кількість всіх спостережень
(2.44)
3 Багатофакторний дисперсійний аналіз
3.1 Теоретичні відомості
3.1.1 Постановка задачі
Розглянемо
вплив двох одночасно діючих факторів
x1
і x2
на
результат спостережень
(лабораторна робота 3).
Результати
експерименту наведені в таблиці 3.1 і
містять
спостережень параметра
де
j -
порядковий номер рівня варіювання
фактора
g
- порядковий номер рівня варіювання
фактора
l - порядковий номер досліду, який дублюється в серії при кожному jg сполученні рівнів двох факторів,
(для спрощення розрахунків розглянемо
спочатку випадок рівно кількісних
спостережень для всіх можливих сполучень
рівнів, тобто
).
Обчислимо
середні арифметичні
серій з m
повторних
спостережень для кожного сполучення
рівнів j
і g факторів
x1
і x2
;
(3.1)
середні
арифметичні
по рядках з
паралельних спостережень для будь-якого
j-го
рівня фактора x1
(3.2)
середні
арифметичні
по рядках з
паралельних спостережень для будь-якого
g-го
рівня фактора x2
(3.3)
загальне
середнє арифметичне
всіх
спостережень за всіма
сполученнями рівнів
(3.4)
При
вказаному розташуванні спостережень
їхнє розсіювання в кож-ній серії щодо
середнього тієї ж серії, обумовлене
дією тільки випадкових причин (з
дисперсією ).
Розсіювання ж самих середніх серій за
всіма можливими
сполученнями рівнів x1
і x2
навколо загального середнього крім
фактора випадковості викликано впливом
фактора взаємодії x1x2
(з дисперсією
).
Крім цих
факторів на розсіювання середніх по
рядках впливає тільки один фактор x1
(з дисперсією
),
а на
розсіювання середніх по стовпцях -
тільки один фактор x2
(з дисперсією
),
тому що всі рівні іншого фактора в
кожному з цих випадків усереднені.
Таблиця 3.1 - Результати експерименту
|
фактора x2
№ j рівня фактора x1 |
1 |
2 |
... |
g |
... |
u2 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
1 |
y111 |
Y121 |
… |
y1g1 |
… |
|
|
|
y112 |
Y122 |
… |
y1g2 |
… |
|
||
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
||
|
y11l |
Y12l |
… |
y1gl |
… |
|
||
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
||
|
y11m |
y12m |
… |
y1gm |
… |
|
||
|
2 |
y211 |
Y221 |
… |
y2g1 |
… |
|
|
|
y212 |
Y222 |
… |
y2g2 |
… |
|
||
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
||
|
y21l |
Y22l |
… |
y2gl |
… |
|
||
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
||
|
y21m |
y22m |
… |
y2gm |
… |
|
||
|
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
|
j |
yj11 |
yj21 |
… |
yjg1 |
… |
|
|
|
yj12 |
yj22 |
… |
yjg2 |
… |
|
||
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
№
g
рівня
Продовження таблиці 3.1
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|||||||
|
|
yj1l |
yj2l |
… |
yjgm |
… |
|
|
|||||||
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|||||||||
|
yj1m |
yj2m |
… |
yjgm |
… |
|
|||||||||
|
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
|||||||
|
u1 |
|
|
… |
|
… |
|
|
|||||||
|
|
|
… |
|
… |
|
|||||||||
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|||||||||
|
|
|
… |
|
… |
|
|||||||||
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|||||||||
|
|
|
… |
|
… |
|
|||||||||
|
|
|
|
… |
|
… |
|
|
|||||||
