10. Влияние инфляции на ставку процента.

Без использования инфляции результаты расчетов денежных сумм являются

весьма условными.

Говорят, что инфляция (темп инфляции) составляет ®% в базовый период

времени, если один и тот же набор товаров в конце базового периода стоит

в (1 + ®) раз больше, чем в начале периода. Другими словами в (1 + ®)

раз уменьшилась покупательная способность одной денежной единицы. Это

показывает, что инфляция уменьшает реальную ставку процента.

Пусть i ставка процента за базовый период времени, ® ставка инфляции

за базовый период времени. Тогда реальная ставка процента j находится из

уравнения 1 + j =

1+i

1+®

.

5Пусть известен темп инфляции ®1 за отрезок времени, k - число вхождений

этого отрезка в базовый период времени, тогда темп инфляции ® за базовый

период времени определяется выражением (1 + ®1)

k = 1 + ®.

Пример. Банк обещает 17% годовых, реальная ставка 5%. Найти годовую и

ежеквартальную инфляции.

Решение. i = 0; 17; j = 0; 05. Годовая инфляция найдется из соотношения

1 + ® =

1+i

1+j = 1; 1143. Годовая инфляция ® = 11; 43%. Зная годовую инфляцию,

найдем ежеквартальную 1+®1 =

p4

1 + ® =

p4

1; 1143 = 1; 0556. Ежеквартальная

инфляция ®1 = 5; 56%.

11.Потоки платежей.

Поток платежей - это последовательность величин самих платежей (со знаками) и моментов времени, когда они осуществлены.  Платеж со знаком плюс, который может быть опущен, – это поступление, платежи со знаком минус представляют собой выплаты.  Поток называется конечным или бесконечным в зависимости от количества платежей в нем.  Пусть ={Rk, tk}– поток платежей, в нем tk - моменты вмени, Rk – платежи. Кроме того, предполагается, что известна ставка процента i, обычно неизменная в течение всего потока.  Величиной потока в момент Т называется сумма платежей потока, дисконтированных к этому моменту – (T)=∑Rk(1+i)T–tk  Достаточно найти величину потока в какой–то момент, тогда в любой другой момент Т’величина потока (T)=(T)(1+i) Т’–T.  Величина (0) называется современной величиной потока; если есть последний платёж, то величина потока в момент этого платежа называется конечной величиной потока.  Пример 1.  Пусть поток есть ={(–2000, 1); (1000,2); (2000,3)}. Найдем характеристики этого потока при ставке процента i=10%.  Сначала найдем современную величину потока:  (0)=–2000(1+0,1)–1+1000(1+0,1)–2+2000(1+0,1)–3=–1818,2+826,4+1502,6=510,8. Теперь можно найти и конечную величину потока: (3)=(0)(1+i)3=679,8  Поток положительных платежей с постоянными промежутками между ними называетсярентой. Часто сами платежи также являются одинаковыми. Далее рассматриваются только ренты с одинаковыми платежами.

12. Конечная годовая рента.

Это самая простая рента: в ней только один платеж Rв год, длительность ее nлет, годовая процентная ставка i. На рентные платежи начисляются сложные проценты.  Пример 2.  Рассмотрим 5-летнюю ренту с годовым платежом 1000 руб., процентная ставка i=10%.  Поясним движение денежных сумм. В конце 1-го года в банк вносится 1000 руб. В конце 2-го года эта сумма возрастает до 1100 руб. за счет начисленных 10%. Вместе с очередным внесенным платежом в 1000 руб. на счете уже 2100. В конце 3-го года эта сумма возрастает до 2310 руб. за счет начисленных 10%. Вместе с очередным внесенным платежом на счете теперь уже 3310 руб. и т.д. Наращенная сумма ренты равна 6105,1 руб. Современную величину ренты найдем, дисконтируя к моменту 0 наращенную сумму 6105,1. Получаем 6105,1/1,15=3791  Если платежи поступают в конце очередного промежутка, то рента называетсяпостнумерандо. Рассматриваемая рента в примере постнумерандо. В дальнейшем рассматриваются только такие ренты.  Изучим подробно конечную годовую ренту {R,n,i} в общем виде.  Главная задача – найти современную величину этой ренты. Имеем  A=R/(1+i)+R/(1+i)2+…+R/(1+i)n=R[(1+i) –1+…+(1+i)–n].  В квадратных скобках стоит сумма nчленов геометрической прогрессии с первым членом (1+i)–1 и знаменателем (1+i)–1. Как известно, сумма nчленов геометрической прогрессии с первым членом b1 и знаменателем qравна b1(qn– 1)/(q–1) или (bnq–b1)/(q–1). Следовательно, сумма в квадратных скобках есть [1– (1+i)–n]/i. И потому современная величина ренты есть A=R[1–(1+i)–n]/i.  Величина [1–(1+i)–n]/i обозначается a(n,i) и называется коэффициентом приведения ренты. С учетом этого обозначения имеем A=R*a(n,i).  Зная современную величину ренты, можно легко найти конечную ее величину, которая еще наращенной величиной ренты S: S=A(1+i)n, или S=R*a(n,i)(1+i)n=R[(1+i)n–1]/i.  Величина [(1+i)n–1]/iобозначается s(n,i) и называется коэффициентом наращения ренты. С учетом этого обозначения имеем S=R*s(n,i).  Величины a(n,i), s(n,i) связаны очевидным соотношением s(n,i)=a(n,i)*(1+i)n илиs(n,i)=a(n,i)* M(n,i).  Коэффициент наращения s(n,i) показывает, во сколько раз наращенная величина ренты больше ее годового платежа. Аналогичный смысл имеет и коэффициент приведения ренты: он показывает, во сколько раз современная величина ренты больше ее годового платежа. Можем дать другое толкование смысла понятия  «современная величина ренты»: если в момент 0 положить в банк современную величину ренты под i процентов годовых, то к концу n-го года она вырастет до наращенной величины ренты S. Итак, имеем формулы для конечной годовой ренты А=R* a(n,i), S=R*s(n,i).  Эти формулы формально имеют смысл и для нецелых п. При этом надо использовать определяющие формулы для а(n,i) и s(n,i) .  Ниже приведены фрагменты таблиц коэффициентов приведения и наращения годовой ренты. Таблицы большого объема приведены соответственно в приложениях 3 и 4.

 

Коэффициент приведения годовой ренты a(n,i)=[1–(1+i)–n]/i

Коэффициент наращения годовой ренты s(n,i)=[(1+i)n–1]/i

Применение коэффициентов приведения и наращения покажем на примере.  Пример 3.  Найти современную и наращенную величины годовой ренты с R=1000, n=8, i=8%.  Находим по таблицам a(8,8)=5,747, s(8,8)=10,637. Значит, современная величина ренты равна 5747, наращенная – 10,637. Для контроля посмотрев в таблицу мультиплицирующих множителей, находим М(8,8)=1,851.  Проверка: 5747*1,851=10638.