3.Сравнение силы роста простых и сложных процентов

При одной и той же ставке i наращение сложных процентов идет быстрее, чем простых процентов, при длине периода наращения более единичного и медленнее, если период наращения менее единичного.

Для этого достаточно убедиться, что (1+i)t>(1+ti), если t>1 и (1+i) t<(1+ti), если 0<t<1.

Графики функций (1+i) t и (1+ti) в зависимости от tпоказаны на рис. 2.

Пример 6.  Пусть сумма 800 наращивается по ставке i=8% простых и сложных процентов. Тогда наращенные суммы таковы:

Простые проценты 800	864	928	992
Сложные проценты 8 0 0	864	933,1	1007,8
Промежутки начисления 0 1 2 3 4

4. Мультиплицирующие и дисконтирующие множители

Для облегчения расчетов, особенно со сложными процентами, составлены таблицы мультиплицирующих множителей.  Мультиплицирующий множитель показывает, во сколько раз возрастёт за nлет сумма, положенная в банк под i процентов годовых:  M(n,i)=(1+i)n.  Величина M(n,i) есть будущая стоимость одной денежной единицы — через nлет при ставке процента i.  Так, М(5,8) есть 1,469. Таблицы таких множителей имели большое значение для финансовых расчетов ранее, когда не было электронных калькуляторов. Но и сейчас во многих ситуациях такие таблицы весьма удобны. Ниже приведен фрагмент таблицы мультиплицирующих множителей M(n,i) для 2<n<11, 2<i<12. Таблица большого объема приведена в приложении 1.  Мультиплицирующие множители

7.Математическое дисконтирование

является точным формальным решени­ем обратной

задачи.

Р = S/(1+ni) (5)

Множитель:

1

1 + ni

называют дисконтным множителем.

Задача 1

Определить сумму, вложенную в коротко-срочные облигации доходностью 5%

годовых на 7 месяцев, которые принесли дивиденды на 19000 рублей.

Решение

i = 0,05/12 = 0,0041 или 0,42 %

по формуле (5):

P= 19000/(1+7*0,0041) = 18464,5 рубля

8.Номинальная ставка

. Пусть годовая ставка равна j, число периодов начисления в году – m. Каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставку j называют номинальной. Формула наращения: S=P(1+j/m)N N=nm Пример. Какой величины достигнет долг, равный 1 млн руб, через 5 лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых? Проценты начисляются поквартально. N=4раза*5 лет=20. S= 1 000 000 (1+0,155/4)20 = 2 139 049 руб. Чем чаще начисляются %, тем быстрее идет процесс наращения Эффективная (действительная) ставка – годовая ставка сложных процентов, кот дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j/m.  i = (1+j/m)m-1. Эффект ставка при m>1 больше номинальной. Эффективная и номинальная ставки эквивалентны в финн отношении.  Пример.  Каков   размер эффект ставки, если номинальная ставка=25% при месячном начислении %? i= (1+0,25/12)12 – 1=0,280732. Для участвующих в сделке сторон безразлично применить ставку 25% при помесячном начислении процентов или годовую (эффективную) ставку 28,07% если известна эффективная ставка i, то соответствующую ей номинальную находят по формуле : j=n(√(n&1+i )-1). Пример. Какой должна быть номин ставка при ежеквартальном начислении процентов соответствующ эффективной ставке 12%? i= 4(4√1+0,12   – 1) = 0, 11495