- •Курсовая работа
- •Теоретическая часть.
- •1.1 Понятие группы.
- •1.2 Определение подгруппы. Свойства подгрупп.
- •1.3 Изучение строения групп, заданных образующими и определяющими отношениями.
- •2.1.Находим все слова
- •2.2.Порядки элементов
- •2.3.Переобозначим элементы группы
- •2.4.Вычислим таблицу умножения
- •2.5.Найдем центр группы
- •2.6.Составить таблицу подгрупп, порожденных двумя, тремя элементами.
- •2.7. Структурная схема всех подгрупп:
- •3.Список используемой литературы.
Московский Государственный Институт
Электронной Техники (ТУ)
Курсовая работа
По дисциплине:
«ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА»
Тема:
«Строение конечной группы 20-го порядка, заданной образующими и определяющими соотношениями
Выполнил:
Янушевская Л.С.
ЭКТ-35
Проверил:
Клюшин А.В.
Москва
2011
Оглавление:
-
Теоретическая часть………………………………………………………3
-
1.1 Понятие группы…………………………………………………………..3
-
1.2 Определение подгруппы. Свойства подгрупп………………………….3
-
1.3 Изучение строения групп, заданных образующими и определяющими отношениями……..………………………………………………….......4
-
-
Практическая часть………………………………………………………..6
-
2.1 Выразить все элементы через образующие……………………………..6
-
2.2 Найти порядки всех элементов…………………………………………..8
-
2.3 Переобозначить элементы……………………………………………….8
-
2.4 Таблица умножений данной группы……………………………………9
-
2.5 Центр группы…………………………………………………………….10
-
2.6 Таблица подгрупп, порожденных двумя, тремя элементами…………10
-
2.7 Все подгруппы группы G, структура подгрупп………………………..11
-
-
Список используемой литературы………………………………………12
-
Теоретическая часть.
-
1.1 Понятие группы.
Определение 1. Пусть G – некоторое множество. Бинарной операцией на G называется произвольное отображение GGG. Если (), то результат бинарной операции чаще всего будет обозначать , где () – знак бинарной операции.
Определение 2. Множество G с бинарной операцией () называется группой, если:
1)
2) , этот элемент е будем называть единицей группы G.
3) , элемент для элемента g будем называть обратным к g.
Если к условиям 1) – 3) добавить условие
4) , то группа G называется абелевой или коммутативной. В этом случае знак бинарной операции чаще обозначают (+), что мы и будем делать.
Результат бинарной операции () в дальнейшем будем называть произведением. Прежде всего заметим, что, благодаря условию 1), произведение нескольких элементов группы можно записывать без скобок.
Определение 3. Центр группы G обычно обозначается Z(G), определяется как Z(G) = {g| gh = hg для любого }.
Иначе говоря, это максимальная подгруппа элементов, коммутирующих с каждым элементом G.
Предложение 1. Единица в группе может быть только одна.
Доказательство. Действительно, если два элемента обладают свойством 2), то .
Предложение доказано.
Предложение 2. В группе элемент, обратный к данному элементу g, может быть только один.
Доказательство. Если два элемента и обладают свойством 3) для элемента g, то = = = = . Ч.Т.Д.
Каждая конечная группа может быть задана таблицей умножения, которая иначе называется “таблицей Кэли”.
Для составления таблицы Кэли элементы группы выписываются по горизонтали и вертикали в определенном порядке. В клетке на пересечении строки и столбца пишется элемент gh.
Таблица Кэли обладает важным свойством: в каждой строке и каждом столбце каждый элемент группы встречается ровно один раз. Таким образом, каждый столбец и каждая строка являются некоторой перестановкой элементов группы.