Примеры решения задач

1. Дана прямая d: . Найти расстояние от этой прямой до точки А(–1; 3).

Решение

Искомое расстояние вычисляется по формуле (1) =

2. Стороны треугольника АВС заданы уравнениями ,. Найти длину высоты BH данного треугольника.

Решение

.

.

3. Вычислить угол  между прямыми и .

Решение

По формуле (2) находим

,

т. е.  = 90⁰ и прямые взаимно перпендикулярны.

Задачи для практических занятий и самостоятельной работы

1. Пусть АВСD — параллелограмм, О — точка пересечения диагоналей, M, N, P, Q — соответственно середины сторон АВ, ВС, СD, DА. Построить на чертеже следующие векторы:

а) б) в) г)

д) е) ж)

2. Точки М и N — середины сторон треугольника АВС. Выразить векторы через векторы .

3. В треугольнике АВС векторы направлены по медианам. Выразить их через векторы и

4. Пусть АВСD — параллелограмм, а О — точка пересечения его диагоналей. Полагая и , выразить через и векторы и .

5. Определить расстояния между точками А₁(2; –1) и А₂(1; 2); В₁(1; 5) и В₂(1; 1); С₁(–3; 1) и С₂(1; –2); D₁(–1; 2) и D₂(3, 0).

6. Даны точки А(0; 0), В(3; –4), С(–3; 4), D(–2; 2) и Е(10; –3). Найти длины отрезков АВ, ВС, АС, CD, AD, DE.

7. Даны вершины треугольника А(3; 2), В(–1; –1) и С(11; –6). Вычислить длины его сторон.

8. Даны две смежные вершины квадрата А(3; –7) и В(–1; 4). Вычислить его площадь.

9. Даны две противоположные вершины квадрата H(3; 5) и М(1; –3). Вычислить его площадь.

10. Вычислить площадь правильного треугольника, две вершины которого А(–3; 2) и В(1; 6).

11. Определить длину медианы АМ треугольника АВС, заданного координатами своих вершин: А(5; –4), В(–1; 2), С(5; 1).

12. На оси абсцисс найти такую точку М, расстояние от которой до точки К(2; –3) равнялось бы 5.

13. На оси ординат найти такую точку М, расстояние от которой до точки К(–8; 13) равнялось бы 17.

14. Даны концы отрезка АВ: А(3; –5) и В(–1; 1). Найти координаты его середины.

15. Середина отрезка находится в точке М(1; 4), один из его концов в точке Р(–2; 2). Определить координаты другого конца К этого отрезка.

16. Даны вершины треугольника А(1; –3), В(3; –5) и С(–5; 7). Определить середины его сторон.

17. Даны вершины треугольника А(3; –7), В(5; 2) и С(–1; 0). Определить середины его сторон.

18. Определить координаты точек, делящих отрезок АВ: А(2; 3), В(–1; 2) в отношении

19. Определить координаты концов А и В отрезка, который точками Р(2; 2) и М(1; 5) разделен на три равные части.

20. Вычислить площадь треугольника АВС, заданного координатами вершин, в каждом из следующих случаев:

а) А(2; 1), В(3; 4), С(1; 6);

б) А(–2; 4), В(0; –3), С(1; 7);

в) А(5; 4), В(11; 0), С(0; 3).

21. Вычислить площадь треугольника АВС, заданного координатами вершин, в каждом из следующих случаев:

а) А(2; –3), В(3; 2), С(–2; 5);

б) А(–3; 2), В(5; –2), С(1; 3);

в) А(3; –4), В(–2; 3), С(4; 5).

22. Вершины треугольника А(3; 6), В(–1; 3) и С(2; –1). Вычислить длину его высоты, проведенной из вершины С.

23. Вычислить площадь параллелограмма, если известны координаты его трех вершин А(–2; 3), В(4; –5) и С(–3; 1).

24. Площадь треугольника равна 3, две его вершины А(3; 1) и В(1; –3), а третья вершина С лежит на оси Оу. Определить координаты вершины С.

25. Площадь треугольника равна 4, две его вершины А(2; 1) и В(3; –2), а третья вершина С лежит на оси Ох. Определить координаты вершины С.

26. Вычислить скалярное произведение векторов и , если , а угол между ними равен: а) 45^о; б) 90^о; в) 135^о.

27. В равностороннем треугольнике АВС со стороной а проведена высота ВН. Вычислить скалярное произведение векторов: а) ; б) ; в) ; г) .

28. Вычислить скалярное произведение векторов и , если:

а) ; б) ; в) .

29. Доказать, что ненулевые векторы перпендикулярны.

30. Доказать, что векторы и перпендикулярны, если — координатные векторы.

31. При каком значении х векторы и : 1) перпендикулярны; 2) коллинеарны, если а) ; б) ; в) ?

32. Найти косинусы углов треугольника с вершинами А(2; 8), В(–1; 5), C(3; 1).

33. Найти углы треугольника с вершинами А(–1;), В(1; –), C(;).

34. Известно, что вектор составляет с каждым из векторов и углы по 60^о. Вычислить , если .

35. Дана прямая 2х – у + 5 = 0. Выяснить, какие из следующих точек принадлежат данной прямой: (5; 15), (1; 1),(–2; 1), (3; 0), (7; –5),

36. Определить координаты точек, которые принадлежат прямой 3х – 2у + 1 = 0 и имеют ординаты 1;

37. Определить координаты точек, которые принадлежат прямой

7х + 2у – 8 = 0 и имеют абсциссы 2; –4; 3; –1; 1; 0,5.

38. Построить прямые: а) б) в)

39. Написать уравнение прямой:

а) проходящей через точки А(–1; 1) и В(2; 5);

б) проходящей через начало координат и точку А(2; 5);

в) проходящей через точку А(2; –6) и параллельной вектору ;

г) отсекающей на осях координат отрезки а = 3, b = –2;

д) проходящей через точку А(3; 5) и параллельной оси Ох;

е) проходящей через точку В(–1; 2) и параллельной оси Оу;

ж) проходящей через точку А(1; –5) и параллельной прямой х – 3у + 1 = 0.

40. Записать общие уравнения прямой и укажите координаты вектора нормали к данной прямой: а) б) в)

41. Найти точки пересечения следующих пар прямых:

а) и б) и

42. Даны уравнения сторон треугольника , , , найти координаты его вершин.

43. Треугольник АВС задан координатами своих вершин А(–1; 3), В(0; 4), С(–2, –2). Написать уравнение медианы этого треугольника, проведенной из вершины А.

44. Установить, какие из следующих троек точек лежат на одной прямой:

а) (2; 1), (–1; 4), (–7; 10); в) (1; 0), (0; 1), (–2; 3);

б) (0; 5), (7; 1), (–2; 3); г) (2; 1), (10; 3), (5; 2).

45. Найти координаты направляющих векторов следующих прямых:

а) 3х + 7у = 0; б) х + 5 = 0; в) 2х – 3у – 1 = 0;

г) –х + 2у – 8 = 0; д) 2у + 5 = 0.

46. Даны три вершины треугольника: А(1; –2), В(0; 3), С(1; 1). Написать уравнения прямых, проходящих через каждую из них параллельно противоположной стороне.

47. Записать уравнение прямой, проходящей через точку М (0; в) и имеющей угловой коэффициент k:

а) М(0; –2), k = 1; б) М(0; 1), k = –3;

в) М(0, 0), k=-2; г) М(0, 0), k=0.

48. Написать уравнения прямых, отсекающих на положительной оси Оу отрезок, равный 4, и образующих с осью Ох углы: а) 30^о; б) 45^о; в) 60^о; г) 135^о.

49. Написать уравнение прямой:

а) проходящей через точку А(2; 5) и имеющей угловой коэффициент k = 3;

б) проходящей через точку (0; 0) и имеющей угловой коэффициент k = –2;

в) являющейся биссектрисой координатного угла хОу;

г) проходящей через начало координат и образующей с осью Ох угол 30^о;

д) проходящей через начало координат и образующей с осью Ох угол 120^о;

е) отсекающей от оси Оу отрезок b = 2 и имеющей угловой коэффициент k = –3;

ж) отсекающей от оси Оу отрезок b = –3 и имеющей угловой коэффициент k = 1.

50. Найти угловые коэффициенты и отрезки, осекаемые на оси Оу каждой из следующих прямых:

а) 2х + у + 5 = 0; б) х – 3у + 6 = 0;

в) х + у = 0; г) 2у + 5 = 0; д) 3х + 1 = 0.

51. Найти углы наклона к оси Ох прямых:

а) х + у – 7 = 0; б) х – у + 2 = 0; в) х+

52. Написать уравнение прямой:

а) проходящей через точку А(–1; 3) и перпендикулярной к вектору ;

б) проходящей через точку В(5; 10) и перпендикулярной к прямой х – у + 1 = 0;

в) проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой 2х – 3у + 1 = 0.

53. Дана прямая 2х – 5у + 3 = 0. Определить координаты направляющего вектора нормального вектора угловой коэффициент k и отрезки а и b, отсекаемые на осях координат данной прямой.

54. Даны точки А(2; –3), В(3; –5). Через середину отрезка АВ провести прямую, перпендикулярную к АВ.

55. Даны последовательно вершины выпуклого четырехугольника А(–6; –2) В(6; 7), С(9; 3) и D(1, –3). Определить точку пересечения его диагоналей.

56. Какая из прямых или отсекает на оси ординат больший отрезок?

57. Вершины треугольника имеют координаты А(2; 6), В(–6; 0) и С(–3; –4). Составить уравнения его сторон и медиан.

58. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(–2; 8) и середину отрезка МN, где М(4; 5) и N (–2; –1).

59. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(4; –7) и параллельной прямой PQ, где P(–4; 3) и Q(2; –5).

60. Даны две точки А(–1; 6) и В(9; –8). Через середину отрезка АВ провести прямую, параллельную прямой .

61. Найти расстояние d от точки А(6; –8) до прямой, проходящей через точки М₁(–5; 0) и М₂(3; 6).

62. Найти расстояния от точек А(1; 2), В(–1; 3) и С(1; 6) до прямой 3х – 4у + 1 = 0.

63. В каждом из следующих случаев найти угол, образованный двумя прямыми, заданными в определенном порядке своими уравнениями:

а) 3х + у – 6 = 0, 2х – у + 5 = 0;

б)

в) х – 2у + 1 = 0, 6х + 3у – 2 = 0:

г) , .

64. Дан треугольник с вершинами в точках А(3; 6), В(–1; 3) и С(2; –1). Вычислить длину высоты, проведенной из вершины С.

65. Даны уравнения сторон треугольника АВС: (АВ) , (ВС) , (АС) . Найти длину высоты опущенной из вершины В на сторону АС.

66. Найти угол между прямой и прямой, проходящей через точки А(1; –1) и В(5; 7).