- •Глава II. «Элементы аналитической геометрии» § 1. Векторы. Сложение и вычитание векторов. Модуль вектора. Умножение вектора на число
- •Примеры решения задач
- •§ 2. Деление отрезка в данном отношении. Вычисление расстояния между точками. Косое произведение векторов. Площадь треугольника
- •Примеры решения задач
- •§ 3. Различные способы задания прямой
- •Уравнение прямой, заданной точкой и направляющим векторому
- •Уравнение прямой, заданной двумя точками
- •Общее уравнение прямой
- •Уравнение прямой, заданной точкой вектором нормали
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Примеры решения задач
- •§ 4. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми
- •Примеры решения задач
- •Задачи для практических занятий и самостоятельной работы
Уравнение прямой, заданной точкой вектором нормали
Рассмотрим в прямоугольной декартовой системе координат Оху произвольную прямую d. Пусть на этой прямой задана точка , а также задан ненулевой вектор (рис. 2.19). Составим вектор .
у
М0 d
О х
Рис. 2.19
— (7) уравнение прямой, заданной нормальным вектором и точкой
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
В прямоугольной системе координат уравнение прямой d: — (8) уравнение прямой с угловым коэффициентом, b — отрезок отсекаемый прямой от оси Оу (рис. 2.20), , где — угол между прямой и положительным направлением оси Ох.
y d
b
О х
Рис. 2.20
Примеры решения задач
-
Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(–2; 3) и перпендикулярной вектору .
Решение
Составим уравнение прямой, используя формулу (7) ,
— уравнение искомой прямой.
2. Даны координаты вершин А(1; –2), В(3; 2) и центра Е(1; 1) параллелограмма АВСD. Написать уравнения сторон параллелограмма.
Решение
Рис. 2.21
В параллелограмме ABCD (рис. 2.21) , поэтому Е — середина АС. Используя формулы координат середины отрезка, получим:
С (1; 4).
Теперь у каждой стороны известны два определяющих элемента, что позволит составить их уравнения:
СD.
.
.
(-2,2).
.
3. Прямая, проходящая через точку А (–2; 3), образует с осью Ох угол 135о. Составить уравнение этой прямой.
Решение
Уравнение прямой будем искать в виде . Угловой коэффициент прямой . Искомая прямая проходит через точку А(–2; 3), поэтому координаты этой точки и удовлетворяют уравнению данной прямой, т. е. , откуда b=1. Следовательно, уравнение прямой имеет вид или .
§ 4. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми
В прямоугольной системе координат расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле
. (1)
Угол между прямыми и определяется как острый угол между их направляющими векторами .
. (2)
Если прямая задана уравнением с угловым коэффициентом , то её направляющий вектор имеет координаты . Тогда приведенные формулы приобретают вид:
(3)
Перпендикулярность двух прямых определяется условием:
или .
Очевидно, что векторы и взаимно перпендикулярны. Этот факт можно использовать для составления уравнения перпендикуляра к данной прямой или направлению.