Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

элмат. алгебра

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

1.72 Mб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Министерство образования и науки РФ

Саратовский государственный университет имени Н.Г.Чернышевского

С.В. Лебедева

Элементарная математика

Часть 4. Алгебра

те

для с удентов, обучающихся по специальности

050201 – математика с дополнительной специальностью информатика

и направлению подготовки

050100 – педагогическоеу

образование (профиль – математическое

образование)

Учебно-методическое пособие

Саратов, 2013

УДК 51(072.8)

ББК 22.1Р

Л 33

Рекомендовано к печати

кафедрой математики и методики еѐ преподавания

Саратовского государственного университета им. Н.Г.Чернышевского

Рецензент:

В.И.Игошин доктор педагогических наук, кандидат физико-

математических

наук,

профессор

кафедры

геометрии

Саратовского

государственного

университета

имени

Н.Г.Чернышевского

Лебедева С.В. Элементарная

Часть

Л 33

математика:

Алгебра:

учебно-методическое

пособие

–

/ С.В. Лебедева

Саратов, 2013. – 72 с. – (Профессиональиая подготовка учителя

математики).

те

Серийное оформление С.В.Лебедевой

Курс

«Элементарная

открывает

цикл

естественнонаучных

математика»

050201

дисциплин,

изучаемых

студентами,

обучающихсяе

по

специальности

–

«математика

дополнительной

специальностью

информатика»

цикл

профессиональных дисциплин, изучаемыхн

студентами, обучающимися по направлению

050100 – «педагогическое

образование (профиль – математическое образование)».

Цель курса

плане

общей

подготовки

студента

–

обобщение и

систематизация

имеющихся

знаний

областин

элементарной

математики

точки

зрения

информационного

моделирования,

плане

профессиональной

подготовки

–

пропедевтика курса теорииви методики обучения математики и информатики / методика

обучения и воспитанияс(математика),

а также смежных с этими курсами дисциплин

профессионально-методической подготовки.

1. Алгебраические

Пособие

состоитд

из шести

взаимосвязанных разделов:

выражения.

2. сРациональные уравнения,

неравенства,

их системы

совокупности.

Функциональноо -графический подход к решению уравнений, неравенств, их систем и

4. Дробно-рациональные

совокупностей.

уравнения,

неравенства

системы.

6. Трансцендентные

Иррациональные

уравнения,

неравенства

системы.

и показательные) уравнения, неравенства и системы.

(логарифмическиес

Система задач представлена пятью группами: тестовые задания, математические

лгоритмическиет

, математические эвристические, практические и творческие задания.

Пособие ориентировано преимущественно на самостоятельное изучение курса

а«Элементарная

математика»,

самоконтроль

самооценку

результатов,

для чего

предусмотрена рейтинговая система оценки достижений студентов.

УДК 51(072.8)

ББК 22.1Р

Введение

Пособие содержит 600 задач обучающе-контролирующего характера, рассчитанных на самостоятельное решение студентами второго курса, как на

аудиторных занятиях, так и в ходе внеаудиторной работы.

Система

задач

представлена

пятью

группами:

тестовые

задания

(60 задач), задачи I

уровня

сложности

–

математические

алгоритмические

(300 задач),

задачи

II уровня сложности

–

математические

эвристические

(150 задач),

задачи

III

уровня

сложности

–

практические

(60

задач) и

творческие задания (30 задач).

Тестовые

задания

имеют

четыре

варианта

ответа,

среди

которых

находится, как правило, один верный. В ряде заданий предполагается запись

в пустой

строке

своего

варианта ответа.

Тестовые

задания

выполняются

непосредственно в Пособии. На зачѐте/экзамене преподавателье

может

попросить обосновать выбор ответа любого тестового задания.

так как их

Задачи I уровня сложности можно считать тренировочными,

выполнение требует знания соответствующего теоретического материала и

известных

алгоритмов

решения.

Студенту

не

иследует

«увлекаться»

выполнением

тренировочных

задач,

как правило, достаточно решить три

задачи этой группы (определѐнного вида), чтобы вспомнитьм

или сформировать

нужный алгоритм решения.

те

Задачи II уровня сложности требуют умелого сочетания ряда известных

алгоритмов решения, а иногда и нестандартногои

подхода к задаче. Большая

часть задач, решаемых студентом, должнар быть из этой группы задач.

Задачи

III

уровня

сложностив

требуют

сформированности

ряда

компонентов информационной культуры, главным из которых можно считать

умения,

связанные

информационныму

(в

том

числе

математическим)

моделированием. Процесс оформления решения данного вида задач должен

включать описание всех этапов информационного моделирования.

Задачи

I-III

сложности

выполняются

отдельной

тетради и

уровн й

сдаются для проверки преподавателюв

в установленные преподавателем сроки

(до проведения зачѐтас).

Выполненноеатворческое задание представляет собой мультимедийный

гипертекстовыйудокумент и сдаѐтся на CD-диске.

Каждая задача имеет свой «вес» – V. Вес тестового задания – 10 баллов,

вес задачи I уровня – 20 баллов, II уровня – 30 баллов, III уровня – 40 баллов,

вес творческого задания – 100 баллов.

сДля получения зачѐта по модулю «Алгебра» студенту достаточно пройти

тестирование по каждой теме (с результатом, не менее 70% верных ответов) и

600 баллов, причѐм каждая тема должна быть «представлена» не

н брать

рменее, чем 100 баллами.

За каждое правильно решѐнное задание студент получает максимальное

количество баллов V

только в том случае, если он единственный из группы

включает это

задание

свой

отчѐт

выполнении

заданий

по

теме.

В противном

случае

максимальное

количество

баллов

за

правильно

решѐнное задание, делится на количество решающих N, и каждый получает за это задание V/ N баллов.

Задачи, решѐнные на аудиторных занятиях под руководством преподавателя, оцениваются по 5-балльной шкале для решающего у доски, и

в 1 балл для всех остальных.

В качестве методической поддержки обучающихся в Пособии

предусмотрен теоретический материал и образцы рассуждения и оформления

некоторых типов задач, предваряющие систему заданий по каждой теме курса.

Отчѐт о выполнении заданий по каждой теме представляется в форме

таблицы,

которой фиксируются ответы на

тестовые задания и

номера

решѐнных заданий I-III уровней сложности, например:

Тема 1. Алгебраические выражения, работа ______________________ (Ф.И.сО.)

Тестовые задания

Задания I уровня сложности – 20 б.

№№

баллы

Задания II уровня сложности – 30 б.

№№

баллы

Задания III уровня сложностим– 40 б.

№№

те

баллы

Творческая контрольная работа – поисути –

выполненное творческое

задание по одной из шести тем курса.

Предполагается участие студентов в проектной деятельности.

Проект «Избранные

вопросы

линиии

уравнений и неравенств школьного

курса математики» групповой, рассчитану

на 3 недели.

Результатом

проектной йдеятельности

группы

студентов

является

методическая разработка по однойы

из тем:

1.1.

Обзор методов,нспособов и приѐмов решения уравнений, неравенств

и их систем.

1.2.

Задачи с параметрамис .

1.3.

Информ

рционное моделирование текстовых задач (математических,

физических и др. задач области естественных наук).

Методиче кие разработки составляют основу Банка методических работ.

Методическаяо

разработка

–

это

пособие,

раскрывающее

формы,

средства,

методы

обучения,

элементы

современных

педагогических

технологийи

или

сами

технологии

обучения

и воспитания

применительно

к конкретнойс

теме

урока, теме

учебной программы,

преподаванию

курса

в целомо .

Методическая

разработка

может

быть

как

индивидуальной,

так и

рколлективной работой. Она направлена на профессионально-педагогическое

совершенствование

преподавателя

или

качества

подготовки по

учебным

специальностям.

I.Алгебраические выражения

Под алгебраическим выражением (многочленом) будем понимать

выражение вида

а х

...

хп , где

R , k = 0

п .

а , а х, ..., а

хп называют членами многочлена, а

– свободный член.

Два

многочлена F(х)

G(х) называют

равными,

если

для

kг

для G(х).

коэффициент при х для F(х) равен коэффициенту при х

Алгебраической суммой двух многочленов

F(x)

а0

а1 х ...

аm хв

G(x)

b1 х

...

bn х

называют многочлен вида:

F(x)

G(x)

(а

)

(а

)х ...

(а

m).

b )х p , где р = max(n,р

Произведением

двух

многочленов

F(x)

а.х ...

G(x)

b х

...

b хп

называют многочлен вида:

иm

F(x) G(x)

с0

с1 х ...

сm n х н

где сk = akb0 + ak–1b1+… + a0bk

для

k = 0

(n + m)м.

Степенью многочлена а

а х ...

те

тх называется наибольшее из

что ak

многочлена степени k: Fk(х).

таких чисел k = 0

Обозначениеи

Член

называют

старшим

членом многочлена, а коэффициент a

–

старшим коэффициентом многочлена.

Многочлен, старший коэффициенти

которого

равен

называют

нормированным (приведѐнным).

Многочлен, все коэффициентый

которого равны нулю, называют нулевым.

Многочлен,

все коэффициенты которого имеют знаки, противоположные

знакам

коэффициентов

некоторого

многочлена

Fп(х)

соответствующих

(х).

называют противоположным для F

Теорема о делении многочленов с остатком. Для двух многочленов Fт(х)

и Gп(х)

существует единственная пара многочленов Qm–п(х) и R(х) такие, что

F (х) = G (х)

(х)) + R (х), причѐм s

сm–n

Теоремаг

делении многочлена

на

двучлен

(x – x0) с

остатком.

Fп(х)

Qп–1(х)

Для любогой

многочлена

существует единственный

многочлен

Fп(х) = Qп–1(х)

(x – x0) + Fп(х0).

такой, что

называют

корнем

многочлена

Fп(х),

если

Fп(х0 ) = 0.

Число

(х), п

0 не превосходит его степени.

корней многочлена F

Теорема Безу: Fп(х) делится на двучлен

(x – x0)

без остатка

тогда

только тогда, когда Fп(х0 ) = 0:

Fп(х) (x – x0)

Fп(х0 ) = 0

Число x0

называют корнем кратности k многочлена Fп(х), если k –

наибольшее натуральное число,

такое,

что

Fп(х) (x – x0)k .

Если k = 1,

то

корень называется простым, если k > 1, то корень называется кратным.

Теорема о разложении многочлена на линейные множители. Всякий многочлен Fп(х) на множестве действительных чисел может быть представим

виде

F (x)

)k1

)k2

... (x

)km

(x) , где многочлен

i 1

Q(х)

не

имеет

действительных

корней.

Многочлен

Q(х)

этом

случае

называют неприводимым на множестве R: его нельзя разложить на линейные

множители. Неприводимым на множестве действительных чисел является нег

имеющий действительных корней квадратный трѐхчлен: Q(х) = х

+ рх + q.

Теорема о разложении многочлена на неприводимые множители. Всякийв

многочлен Fп(х) на множестве действительных чисел может быть представим

в виде:

F (x)

)

... (x

p x

)

... (xр p

) s

где квадратные трехчлены не имеют действительных корней

Для

многочленов F(x)

а0

а1 х ...

аm х

b1 y

... bn y

G(y).b0

возможны операции

Fm(х) + b

Gп(y)

а Fm(х)

Gп(y) или их комбинации,

приводящие

образованию

многочлена

двумян

переменными

K(х,у).

т1

п1

тk

пk

Степенью многочлена с двумя переменными

а0

а1 х

...

аk х

называется наибольшая сумма mi

те

m, j= 0

п, что ak

+ nj для i = 0

Тестовые задания (по 10 баллов)

1. Суммой многочленов: х

– 5х – 13; 2х

+ 7,6х + 8 – является

+ 5х – 3; х

многочлен

а) 4х2 + 7,6х – 8

в) х3 + 3х2 + 7,6х – 8

б) 4х2 + 7,6х + 8

г) х3 + 3х2 + 7,6х + 8

+ 5х – 3;

– 5х – 13

–

является

Произведениемвмногочленов:

многочлен

а) х

– 5х

+ 8х

–

р2

– 50х +39

в) х

+ 5х

+ 2х

+ 12х

– 80х +39

а38х

б) х

+ 5х

– 50х +39

г) х

– 28х

+ 2х

– 65х +39

– 8ху– 38х

+ 5х – 3)

(х

(7 – х) – является

3. Степенью многочлена (х

– 5х – 13) + х

число

а) 3

б) 4

в)

г) 6

Остаток от деления многочлена

+ 5х

+ 2х

+ 12х

– 80х +39 на

+ х + 3

многочлен х

а)

54 – 75х

б) 54 – 60х

в)

48 – 86х

г) 24 – 70х

5. Остаток от деления многочлена

х4 + 2х3 + 3х2 + 2х + 1 на двучлен

(х –1)

а) 0

б) 1

в) 3

г) 9

6. Неполное частное от деления многочлена х4 + 2х3 + 3х2 + 2х + 1 на

двучлен (х –1)

а) х3 + 3х2 + 6х + 8

в) х3 + 3х2 – 6х – 6

б) х3 + 3х2 + 6х – 8

г) х3 – 3х2 + 2.

7. Какой из многочленов делится без остатка одновременно на двучлены

(х –1), (х +1) и (х + 2)?

а) х3 – 4х2 + х + 6

в) х3 + 2х2

– х – 2

б) х3 + 4х2 + х – 6

г) х3 + 4х2

+ 5х + 2.

8. Какой из многочленов имеет кратные корни?

а) х

+ х

– 10х

– 11х – 11

в) х

– х

+ 12х

– 12х

+ 11х – 11

б) х

– 5х

– 2х

+ 26х

– 31х + 11

г) х

+ 6х

+ 17х

+ 16х + 11.

Укажите

вариант

правильного

разложения

многочлена на

неприводимые множители

а) 4(х – 1/2)

(х + 3)

(х

+ 1)

в) (х – 2)

(2х + 1) (2х

– 3х – 2)

б) (х – 2) (х + 3) (х

+ 2х – 11)

г) 3(х + 2)

(х + 1/3) (х

– 3х + 5).

10.

Укажите

вариант правильного

разложения некоторого многочлена

7 степени на множители

(х + 3) (х

+ 1)

(х + 1/2)

а) 4(х – 1/2)

в) 2 (х – 2)м

б) (х – 2) (х + 3)2

(х2 + 2х + 11)

г) 3(х т+ 2)3

(х + 1/3) (х2 – 3х + 5).

те

Задачи I уровня (по 20

баллов). Многочлены являются одной из форм

представления уравнений. Например, в левой части уравнения

x – 4 lg

x + 4 = 0

– 4 у

+ 4, где у = lg x, разложить его на

можно выделить многочлен F6(y) =иy

неприводимые множители:

(y) = y6 – 4 у3 + 4 = (у3 – 2)2= (у – 3 2 )2(у2 + у 3 2 + 3 4 )2

(или отсутствие) действительных корней:

и тем самым выяснить количествон

у =

– корень кра ности 2. Затем,

вернувшись к исходным переменным,

решить данное

lg x = 3 2 .

Ответ:

x = 10

2 .

Поэтому важно

уррвнение:

научиться раскладывать многочлены на неприводимые множители.

Одним изс методов разложения на множители многочленов чѐтной

степени видаг:

F2n(x)= ax

+ c

являет я выделение полного квадрата:

n 2

F2n(x)=

((

а x )

2 а x

) – (

– c)=

4а

= ( а x

)

– (

– c).

4а

Если (

b 2

– c)> 0,

4а

то F2n(x)= (

с )(

с ).

а xn

–

а xn

4а

2 а

Если (

– c)= 0, то F2n(x)= (

а x

)

4а

Если (

– c)< 0, то

F2n(x)

4а

для

разложения

многочлена

на

множители

используют другие методы.

Разложим на множители многочлен F4(x)= х – 6х +8.

– 2х

3 + 9) – 1= (х

– 4) (х

– 2)=.

– 6х

+8 = (х

– 3) – 1= (х

= (х – 2) (х + 2) (х – 2 ) (х + 2 ).

Используя метод выделения полного квадратанразложить многочлен на

множители.

11.

3х

+ 6х

– 1

12.

хт+ 10х

+10

13.

4х

+4х

– 15

14.тех

+ 10х

+21

15.

16х

+24х

– 27

х + 2

16.с

Задачи I уровня (по 20 баллов). Ещѐ один метод разложения многочленов

на множители – группировка с последующим вынесением общего множителя –

заключается

том, чтобы

упредставить

данный

многочлен в

виде

алгебраической

суммы

каждый

из

которых

может

быть

многочленов,

представлен произведением двух множителей, один из которых – общий для

всех многочленов этой суммы.

+ 3х

+ 4х – 12.

Разложим на множители многочлен F4(x)= 6х

– х

+ 3х

– (9 + 8)х

+ 4х – 12=

6х

– х

+ 4х – 12 = 6х

+ 3х

) + (8х

+ 4х – 12)=

= (6х

– 9 х

= 3 х

+ х – 3) + 4(2х

+ х – 3)=

(2 х

= (2х

+ х – 3)(3 х

+ 4)=

= 2(х – 1)(х + 3/2) (3 х2 + 4)=

= 6(х – 1)(х + 3/2) (х + 4/3).

оИспользуя метод группировки, разложить многочлен на множители.

17.

6 х3 + 16х2 – 3х – 8

18.

2х4+ х3 + 7х2 + х + 5

19.

+ 4х

– 8х – 32

20.

+ 7х

– 57х + 110

х – 5х

21.

– 3х

+ 5х

– 13х + 6

22.

– х

+ 6х

+ 4х + 7

5х

2х

23.

4х4– 12х3 + 17х2 – 24х + 18

24. 6х4– 18х3 + 7х2 + 16х – 11

25.

2х5– 5х4 – 32х + 80

26.

3х5– 6х3 – 7х2 + 14

Задачи I уровня (по 20 баллов). Метод группировки в разложении

многочленов на множители является эффективным в поиске неприводимых

множителей, но достаточно сложным для многочленов степени выше третьей.

Чтобы «понизить» степень многочлена используют различные способы поиска

его целых и рациональных корней. Затем делением на двучлен (х – х0), где х0 –

найденный корень «понижают» степень многочлена, который нужно разложить

на множители.

При этом используют теорему Безу и еѐ следствия, схему

Горнера для поиска коэффициентов частного и остатка от деления многочлена

на

двучлен

(х – х0), а

также

тот факт, что

все

целые

корни

многочлена

являются делителями

его свободного члена, а

все

рациональные корни

представимы в виде дроби, числитель которой – делитель свободного члена,

а знаменатель – делитель старшего коэффициента данного многочлена.

Схема Горнера – алгоритм вычисления коэффициентов qiрмногочлена

Qп–1(х) и значения

Fп(х0)

разложении: Fп(х) = Qп–1(х)

(x – x0) + Fп(х0)

–

представляет

собой

таблицу, каждая

строка

по

которой

заполняется

определѐнному правилу:

ап

ап–1

…

а0

п–1

= а

bп–2 = qп–1 x0 + ап–1

…

x0 + а0

Fп(х0) = q0

+ 53х

– 102х + 72.

Разложим на множители многочлен F4(х) = хм– 12х

Коэффициенты при нечѐтных степенях о рицательны,

это значит, что

те

корнем не

может

быть отрицательное

число, так как оно изменит знак

одночленов

нечѐтными

степенями

на ипротивоположный,

и в

результате

получится сумма пяти положительныхрслагаемых, которая никак не может

равняться нулю.

Разработаем компьютерную модельи

схемы Горнера в среде электронных

таблиц и начнѐм проверять всеуположительные делители свободного члена,

то есть числа из множества {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9,12,18, 24, 36, 72}.

Делители

Введите коэффициенты многочлена, начиная от старшего и кончая

свободного

свободным членом

члена

-12

-102

-10

-36

а1

-7

-4

й4

оИтак, F4(х) = х4– 12х3 + 53х2 – 102х + 72 = (х– 2)(х – 3)2 (х – 4).

Используя схему Горнера, разложить многочлен на множители.

27.

х4 – 16 х3 + 95х2 – 248х + 240

28.

4х4+ 4х3 – 23х2 – 12х + 36

29. х5 – 15х4+ 86х3 – 232х2 +288х – 128

30.

х4– 6х3 + 7х2 + 6х – 8

31. х4– 3х3 – 39х2 + 47х + 210

32. 2х4– х3 + 2х2 + 3х – 2

33. 6х4– 17х3 +12 х2 + 3х – 4

34. 6х4– 5х3 – 49х2 + 20х + 100

35. 33х4+ 247х3 – 1223 х2 + 577х – 66

36. 8х5 – 12х4– 26х3 + 47х2 – 24х + 4

Задачи I уровня (по 20 баллов). Если многочлен чѐтной степени не имеет

рациональных корней, то поиск иррациональных корней возможен при условии

представления данного многочлена произведением квадратных трѐхчленов.

Для того, чтобы представить многочлен чѐтной степени в виде произведения

квадратных трѐхчленов, можно воспользоваться методом неопределѐнных

коэффициентов, основанного на определении равных многочленов.

Разложим

на

множители

многочлен:

F4(х) = 3х4+ 6х3 + 4х2 + 2х + 1, о

для

чего

представим

сего

произведением

двух

квадратныхе

an+bm

ap+bn+cm

bp+cn

трѐхчленов

неопределѐннымиш

коэффициентами

(для удобства

воспользуемся таблицрй):

+ 6х

+ 4х

3х

+ 2х + 1 = (aх + bх + c)(mх

+ nх + p)=

+ (an+bm)х

+ (ap+bn+cm)х

=(am)х

+ (bp+cn)х + cp.

Уравнивая коэффициенты при одинаковых степенях,

получим систему из

5 уравнений с 6 неизвестными, определѐнными на множестве целых чисел:

те

bn cm

cpе

Для первого уравнения возмож ыми решениями будут пары: a = 3, m = 1

a = 1, m = 3. Для последнего уравнения возможными решениями будут

пары: с = 1, п = 1

с = – 1,

п = – 1.

совокупности

предстоит

решить

(относительно b и p) четыре системы уравнений для наборов:

a = 3, m = 1, с = – 1, п = – 1.

a = 3, m = 1, с = 1, п = 1.

a = 1, m = 3. с = – 1, п = – 1.

a = 1, m = 3. с = 1, п = 1.

3, m

0, n

Начнѐм с первого,

b n 2

c 1, p 1

1, p

В силу единственности разложения, проверять другие наборы не имеет

+ 6х

+ 4х

+ 2х + 1 =

смысла. Наш многочлен представим в виде: F4(х) = 3х

= (3х2 + 1)(х2 + 2х + 2)= 3(х2 + 1/3)(х2 + 2х + 2).

Дальнейшее

разложение

невозможно, так как полученные квадратные трѐхчлены не имеют действительных корней.

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.04.2019246.34 Кб61Экономика_1_часть.docx
#
30.08.2019125.44 Кб1экономическая и практика менеджмента 2011.doc
#
29.03.20161.21 Mб25ЭЛ.МАТ.-комбинаторика.pdf
#
22.12.201880.9 Кб25Электр_хим_процессы.doc
#
07.12.2018827.39 Кб12Элементы аналитической геометрии.doc
#
29.03.20161.72 Mб14элмат. алгебра.pdf
#
09.06.20152.75 Mб94ЭЛМАТ.практикум_по_геометрии.pdf
#
09.06.20151.36 Mб11ЭЛМАТ.хрестоматия.pdf
#
11.11.201983.46 Кб8Этика студ.doc
#
23.11.2019347.65 Кб7Эфирные масла2.doc
#
09.06.2015136.7 Кб13Юные лидеры Поволжья.doc