Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

элмат. алгебра

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

1.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

VI. Трансцендентные (логарифмические и показательные) уравнения, неравенства и системы

Логарифмическим называется уравнение, содержащее логарифмическую функцию.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида:

loga x = b, a > 0, a

Решение логарифмических уравнений основано на следующем важном

свойстве логарифмов: логарифмы двух положительных чисел по одному и тому

же положительному отличному от единицы основанию равны тогда и только

тогда, когда равны эти числа.

Используя

это

свойство,

простейшее

логарифмическое

уравнение

решается так:

loga x = b, a > 0, a

х = a b.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

logх А = В, А > 0.

При

А 1 и В

0 уравнение имеет единственный корень х = А В .

При

А = 1 и

В = 0

уравнение имеет

решением

положительное число,

любое

отличное от 1. При А = 1 и В

0 и при А

1 и В = 0муравнение корней не имеет.

Решение простейших логарифмических неравенств основано на свойствах

монотонности логарифмической функции:

те

log а f(х)

f(х)

g(х)

log а g(х) с

log а f(х)

f(х) g(х)

log а g(х)

0ы a

В данных

от

простейшего логарифмического неравенства к

переходах

равносильным системам неравенств, не содержащих знака логарифма, учтена

область допустимых значений исходного неравенства.

При

решенииа

логарифмических

неравенств

следует

избегать

преобразований, которые могут привести к потере или появлению посторонних

решений, так как в противном случае обоснование правильности ответа, как

правило, есть более сложная задача, чем решение исходного неравенства.

Практически единственным методом решения логарифмических неравенств

является метод перехода к равносильным

неравенствам

(системам

или

сов купностям неравенств и уравнений):

f(x)

logf(x) g(x) > 0

g(x)

;

logf(x) g(x) < 0

g(x)

f(x)

g(x)

Показательным называется уравнение, в котором неизвестная величина содержится в показателе степени.

Решение показательных уравнений основано на свойствах степеней: две степени с одним и тем же положительным и отличным от единицы основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели. Используя это свойство, простейшее показательное уравнение решается так:

logab

а =b , a > 0, a

1, b > 0

а = а

х = loga b.

Решение простейших показательных неравенств основано на свойствахг

монотонности показательной функции:

а f(х)

а g(х)

f(х) g(х)

а f(х)

а g(х)

f(х) g(х)

Учитывая

эти

свойства,

многие

показательные

неравенствар решаются

методом приведения обеих частей неравенства к одному основанию.

f ( x )

Неравенство

b , a > 0, a

1, b > 0, может быть решено при помощи

при всех b 0

логарифмирования обеих частей (докажите, что это возможно);

неравенство справедливо для любого х из ОДЗ неравенства.

f ( x )

Неравенство

b , a > 0, a

1, b

0, реш ний не имеет.

log

х2

log3

те

Решим

уравнение

2 х

. Анализ

уравнения

позволяет наметить план решения: (1) Найти ОДЗ уравнения. (2) Преобразовать

показатель

степени,

содержащий

логарифмическиее

выражения,

на

ОДЗ.

(3) Перейти

от

показательного

уравненияи

к иррациональному.

(4) Решить

получившееся иррациональное уравнение.

2н

1 .

Решение. (1) ОДЗ: ехн

тв

Поскольку х > 0,

следующие преобразования являются равносильными на

этом множестве:

log3 х

log3

log

(2)

2 х

(3)

2 х 1

(4)

х2– 4х + 3 = 0

2 х

х = 3.

Ответ. х = 3.

Тестовые задания (по 10 баллов).

501. Найдите пары равносильных уравнений:

ответ

2 х = у

х = 2

2 х + 3 = у

х = log8 у

2 3 х = у

х = – log0,5 у

2 х

= у

х = – log2 у

3 2

= у

х = log2

= 3 у

х = log2

2 х = 2 х

х = 3 log

Ж .

502. Корнем уравнения 1 – lg 5 =

lg x

иlg 5

является число:

16 3 5

а)

;

б) 0,213;

в)

;

т г)

3 5

те

2х – 3

число:

503. Корнем уравнения 4 = 8

являетсяс

а) 0,25;

б) 0,75;

в) 2;

г) 2,25.

1и

504 Корнем уравнения lg 1

является число:

а) (– 9);

б) (– 3);

в) 3;

г) 9.

2(6х – 5)

505.

х - 1

уравнения является число

Корнем (0,4)

= (6,25)

11т

а)

;

б)

с;

в)

;

г)

р13

506.

lоg

Уравненияу

lоg3 х

а)

б)

г) (0; 1)

(1; +

)

в) 3

3x – 2

является множество чисел

в507. Решением неравенства 25 > 125

а)

(– ;

];

б) (– ;

);

в) (

; + );

г) [

; + ).

2х

508. Решением неравенства 0,2 1

является множество чисел

5 3

а) (–

; 1)

[4; + )

б) (1; 4]

в) (–

; 1]

(4; +

)

г) [1; 4)

509. Решением неравенства lоg2	5 12х	lоg 1		х 0 является множество
	12х 8
			2

чисел

		а) (			5			;		2		);								б) (				5				;			1		];						в) [					1		;	2			);				г) (						2			; + ).
				12						3													12							2													2				3													3																				о
																																																		2																														о
																																																																															г
																																														3																																	г
					510. Решением неравенства lоg																																												х 3х						2							2				является множество
																																																																															к
																																																																															к
																																														2																																	с
		чисел																																																																												в
		чисел																																																																												е
																																																																												ы
		а) (–					; 1)							(2; +							)									б) (0,5; 2,5)																		в) [0,5; 2,5]																		г) [0,5; 1)											(2;ш2,5]
																																																																											н
					Задачи I уровня (по 20 баллов). Решите уравнения																																																																	р
					Задачи I уровня (по 20 баллов). Решите уравнения																																																																е
									1													4																																														.
		511.							1													4										3																512. 52х + 1 – 3 52х – 1=550Ч
		511.																														3																512. 52х + 1 – 3 52х – 1=550Ч
					5				4lg x									1				4lg x																																													Г
					5				4lg x									1				4lg x																																												.
																																																																		.
																																																													х				Н

									3											2																																		х					н
		513. log x 10														log x 10											6log x 10												0								514.						3				5			2
		513. log x 10														log x 10											6log x 10												0								514.						3				5				и=225
																																																									е2
											2					х												2																										м									х		2
											2					х												2																									и				х						х		2
		515. log																		log																											516.						11														1
									1			10												1		1					х																				т
									5															5																										те
		517. log 5										х 3						log				1 3																								р			и															х2		7,2х					3,9
																																														р			и				5				х			5				х2		7,2х					3,9			9		3 0
																																											в				с518.						5				х			5														9		3 0
										3											1 х																					и			е
																																										и
																																								н
																																								н																											9
		519. logx(2x											2		– 3x – 4) = 2																								у													3х + 2									2х – 1						9					2х			3	3х
		519. logx(2x													– 3x – 4) = 2																						й										520. 5												3						=		5				5				3
																																				ы																															5
																																				ы
																																		н																								х				1					х				1
		521. log													х		2			4																	х	2			4						522. 4						х		3			х				2				3	х				2		2	2х-1
																	2																					2															х																					2х-1
																									log н
									х	3		х															в					2				6
									х			х														т				е4 х						6
		523. log 2																log								т							х		2		2х						0									2х									х
		523. log 2																log					2с										х				2х						0				524. 5						– 2 5 – 15 = 0
																						р
									х			6х				8				а							2х			3
									х			6х				8					2х						2х			3
					1											с				д																			1
		525.			1			log5						5								log5									х					3			1	log5						1			2х

																		ух
					2										о																								2
					2							г																											2
												г												2								3х				3
							2х + 1й																	2								3х				3
							2х + 1й									3 – х
		526. 5					к													;		8 х								2				х				12					0
		526. 5						и= 7												;		8 х								2				х				12					0
						с																																																		х
				в																								5
				в																								5
		527.оlog									2 х								log																	1											528. 1							3 2									2 х
		527.оlog									2 х								log																	1											528. 1							3 2									2 х
		а									5												5 х						х
	р		т								5												5 х						х
С	р																																																			х		2			х
С																																																				х		2
а																																																					log		2										log22 х
											х2																			3																																			log22 х
		529. log															14 log											х		3					40 log										х		0 ;																	2		4
		529. log							х								14 log							16х				х							40 log						4х				х		0 ;						4											2		4
									х															16х																	4х
									2
									2

																		х2			2 х						1												х2 2 х			1							101
		530.					2					3						х2			2 х						1				2						3		х2 2 х			1							101

																																														10 2								3
																																														10 2								3
						Задачи I уровня (по 20 баллов). Решите неравенства
		531. log 1													log6						x2								x						0												532. х2							5			х – 5 2 +х										0;						1							>					1
		531. log 1													log6								х						4						0												532. х2							5			х – 5 2 +х										0;				2	х					1			>			1		2	х 1		о
										2													х						4																																										2	х					1						1		2	х 1

																																																					х+2						х+3								х+4						х+1									х+2					г
		533.					log									x			2								1																										х+2						х+3								х+4			> 5			х+1									х+2				о
		533.					log			х						x			2								1																				534. 2									– 2						– 2															– 5									о
										х	2																																				534. 2									– 2						– 2															– 5									к
																																																																																						с
																																х																											1							1																			в
																																х																											1		х					1				х														е
		535. log92 х																log32											1																		536. 372																										1										ш
		535. log92 х																log32											1																		536. 372																										1										ш
																															4																												3							3															ы
																																																																																	ы
																																																																															н
																2																											1																																	р
		537.					log3 х									2			6 х								8				log 1							х		2			1	log					7																									е
		537.					log3 х												6 х								8				log 1							х		2		2		log			3		7																							Ч
																																															3																									Ч
																																			3																																				.
																																																																							.
																																																																					Г
																																																																					Г
																			5 х			2																																													.
																						2																																													.
		538.						6					х													7,2х					3,9					25				5		0																								Н
																																																															и
																				2																																									н
																				2																																								е
													2х																																						1							2мх				3х+2						25							3х							2х
													2х																																						1							2мх				3х+2						25							3х							2х
																				5																											540.									5и					7											5								7
																				5																											540.									5и					7											5								7
		539.					log х																						0																						5				т														7
		539.					log х						5 1 х																0																						5				т														7
													5 1 х																																						те
																																																			те
																																																		и										2
		541. log								х								9				х2							х 1									1										с				х					2		х		6х				8				1
										х																																					542.					х					2												1
																																															р
																																														е
																																													в		544. 4 0,5 – х– 7 2																	–х– 4 < 0
		543. log											2х									log								2х3															в		544. 4 0,5 – х– 7 2																	–х– 4 < 0
										х																			х													н
																																										н
																																									у
																		х																						й																																		3		х				1
																		х																						й																									х		1									х				1
																3					1															х			ы			3												9							9				х		1				10 4
																3					1															х			ы			3												9							9										10 4
		545.					log					1																	log4 3										1
																																						н									546.
																																						н									546.
																		16																		н						4												10						10														10
												4																						е																				10						10														10
																							10x									в
																							10x								т
											log					1		x2											1с
								1								1								3				р																									2х2 6х 3													х2 3х 1												2х2 6х 3
								1																3				р																									2х2 6х 3													х2 3х 1												2х2 6х 3
		547.														9									а								1														548. 2																	6												3
		547.														9									а								1														548. 2																	6												3
							3															д
																				у
																		с
								1	log2						х о									1		log2																																											х
								1																1						х																									х										х														х
																														х																									х										х														х
												5			г														5																		550. 6										9			13						3					2			6							4			0
		549. 5 4									й								5x 5																												550. 6										9			13						3					2			6							4			0
		549. 5 4									й								5x 5
									и									I уровня (по 20 баллов). Решите системы уравнений и неравенств:
						Задачик
							с						х				у												х		у
					в				3				х				у							2					х		у				65																																					8
					в
				о
			т																																														552.						log у х									log х у
		551.							2															3											36														552.																							3
		а							2															3											36																																					3
	р																		ху								х				у				118																																	ху				16
а																			ху								х				у				118																																	ху				16
С
								у х2						7х				12							1
								у х2																	1																															log2 х										у					log2						х					у			3
		553.												х					у						6																								554.							log2 х										у					log2						х					у			3
																			у						0																																																									ху			3
																			у						0

х2

8х

log4 7

555.

7 2y

556.

log2 х

2 log2 у

1 2

log2 х2

log2 у

2 y

log

557.1.

557.2.

lg х

log4

2х

3 lg х2

log

х2

log

х2

558.

3 14

4 4

log4 7

log4

0,5

log16 23

559.

5х

2 log

log х

ху

560.

ху

2 3

утверждения:

Задачи II уровня (по 30 баллов). Докажите следующиеи

561. Уравнение log

не имеет решентей.

562. Уравнение lg(4 – x) – lg(x – 6)

р= 5 не имеет решений.

563. Для любых натуральных п в10, 2п > n3.

564. Для любых положитель

ных a и b, и любых действительных х и у:

а 2

+b 3

+1 .

1 а

2п

565. Для любых натуральныхе

п:

2п

566. Для любыхрположительных a и b, и любых натуральных п:

(а + b)

< 2

+ b

7 а 1

2b2

с6

567.1.

567.2.

36 а 1

7 2а

567.3.с

52а

568. Для любых натуральных п, п > 1:

15 2 .

569. Для любых положительных a и b: a > b , и любого натурального п:

(1)

а a

b b

> a b

b a.

(2) logп

logп

570. х2 4

log 2

2х log у

log

0 .

Задачи II уровня (по 30 баллов). Найдите:

571.алгоритм решения уравнения вида Ааf(x)+Bbf(x)+С = 0, где А, В, С

–действительные числа, а а и b – взаимно обратные положительные числа;

572. тождественны ли функции у = х а

и у = а х ;

573. корни уравнения х3 х2

х ;

574. значения параметра a, при которых уравнение lg аx = 2

lg (x + 1)г

имеет хотя бы одно решение;

575. значения параметра a,

при которых уравнение 4 – а 2 – а + 3в= 0

имеет единственный корень;

2х

576. решение неравенства

А а

+ В а + С

577. значения параметра a, при которых неравенство

4 х

2 2 х

2а 1 4а2

3 0

выполняется для любых значений x;

578. решение неравенства

а2х + ах+2 – 1

Нпри

всех

значениях

параметра а (а > 0, a

1);

logе x

иx

log 2 x 2

те

;

579. множество всех решений неравенс

тва

580. множество всех решений неравенстваи

log

4х

log

4х

0 ;

е11

2 5х 3х

581. множество всех решенийу

неравенства при 0 < а < 1/4:

log x 4 ;

log x

582. значения парамнтра a, при которых неравенство

log 5 (ax2+ 4x +a)

1в+ log 5

(x2+ 1)

выполняется для любогос

значения x;

log 27 11

log 11

3х

неравенства

;

583. решениеу

log

3 11

log

5х

584.ирешение уравнения

2 log

ах

log

9х

18 ;

585. при каких значениях параметра a, для любого значения параметра

) = b + а

log

имеет действительные

аb, b > 0, уравнение log

2 (1 – х – x

х2

корни из интервала (0; 0,5).

Задачи III уровня (по 40 баллов). Решите задачи.

586. Задачи физического содержания. (1) В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону

m(t)

, где т0 – начальная масса изотопа, Т – период

2 T

полураспада (в мин.).

В лаборатории

получили

вещество

содержащее 40 мг изотопа азота-13, период полураспадао

которого 10 минут. В течении скольких минут маса

изотопа азота-13 будет не меньше 10 мг? (2) Уравнение процесса, в котороме

участвовал газ записывается в виде pV a=const, где р – давление в газеш(в Па),

V – объѐм газа (в м ), a – положительная константа. При каком

наименьшем

значении

константы

уменьшение

вчетверо объѐма

газа,

участвующего

в процессе, приводит не менее, чем к двукратному изменению давленияЧ

физического содержания. (1)

587.

Задачи

Для

обогреваГ

помещения,

температура в котором Тп= 20 С,

через радиатор пропускают горячую воду

температурой Тв= 60 С. Через радиатор проходит т =и0,3 кг/с воды. Проходя

по радиатору расстояние в 84 метра, вода охлаждаетсяе

до температуры Т( С),

причѐм

это

расстояние

определяется

ст

Тв

Т п

выражениемте: х

0,7

log 2

где с

–

Т п

Дж/кг

С), γ

–

теплоѐмкость воды (равна 4200

коэффициент теплообмена (равен 21 Вт/ С),

Донкакой температуры (в градусах Цельсия)

(2) Находящийся

охладится

вода?

воде

водолазный колокол,

содержащий ν = 4

моля

воздуха при давлении р1= 1,2 атм.,

медленно

опускают

на

дно

водоѐма.

При

этом

происходит изотермическое сжатие воздуха.

Работа

(в

Дж),

совершаемая

при

сжатии

воздуха,

определяется

выражением:

5,75 νТоlog

, где Т = 300 К – температура воздуха, р

– начальное

давлениек

(в атм.),

р2 –

конечное

давление

(в

атм.)

воздуха

колоколе.

До какогов

наибольшего давления можно сжать воздух в колоколе, если при

сжа ии воздуха совершается работа не более, чем 20700 Дж?

588. Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре С = 5 10–6 Ф.

конденсатором

подключѐн

резистор

сопротивлением

Параллельно

R = 2 106

Ом. Во время работы телевизора напряжение на

конденсаторе

U = 18 кВ. После

выключения телевизора

напряжение

на

конденсаторе

убывает до значения U (кВ) за время (в секундах), определяемое выражением

t = 1,1 RC

log2

U 0

Определите

(в

киловольтах)

наибольшее

возможное

напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 11 секунд?

589. Из десятилитрового сосуда со 100% уксусной кислотой отлили 1 л.

кислоты, добавили 1 л. воды и тщательно перемешали. Какое минимальное

количество раз нужно повторить эту процедуру для того, чтобы в сосуде

оказался 64% раствор уксуса?

590.

Содержание

§ 72

«Счисление сложных процентов и

сложных

уплат» из учебника «Алгебры» начала ХХ века.

«При счислении процентов

различают так

называемые простые

проценты

и сложные. Если

прибыльо

сосчитывается ежегодно только с основного капитала, то говорят, что капиталс

отдан на простые проценты;

если же прибыль за каждый год сосчитыва тся с

капитала, наращенного прибылями за предшествующие года, то говорят, что

капитал отдан на сложные проценты. Задачи на простые проценты

ырешаются

по способам, рассматриваемым в арифметике. Задачи на сложныер проценты

требуют

пособия

логарифмических

таблиц и

потому рассматриваются в

алгебре.

Основная формула сложных процентов выводится следующим.

образом:

Положим, что капитал а, отданный в рост по р сложныхН

процентов со ста

на время t полных лет, обращается в конце оборота внсумму А.

Чтобы выразить зависимость указанных чисел, рассуждаем так…»

Выведите формулу сложных процентов иивыясните, через сколько лет

те

капитал, отданный в рост под 9% годовых, ув личится вдвое.

591.

Содержание

§ 72

«Счисление сложных процентов и сложных

уплат» из учебника «Алгебры» начала ХХсвека. «При займах в банках делают

обыкновенно условие, чтобы

долг вм сте с процентами погашался в течение

некоторого срока ежегодными взносами. Такие ежегодные взносы называются

срочными уплатами.

Если сумму долга обозначить через А, срочную уплату, постоянную для

каждого года,

через а, от ошениеы

наращения через q и время через t, то

формулу, посредством которойн

решаются задачи на срочные уплаты, можно

вывести таким рассуждениемв

Долг в течение спервого года обратился в Аq, но должник внесѐт а рублей

и потому к началу следующего года долг будет Аq – a. Эта сумма в течение

второго года обратится в Аq

– aq, но после второй срочной уплаты к началу

– aq – а. По истечении трѐх лет размер

следующего да останется долгу Аq

долга выразится через …».**

Выведитеи

формулу срочных уплат и выясните, во сколько лет можно

уплатитьс

долг

250 000 рублей,

занятый под 10% годовых,

уплачивая

ежег дно по 75 000 рублей?

*Шапошников Н.А. Учебник алгебры, применимый к программам средних учебных заведений. Седьмое издание (в двух частях) с существенными дополнениями во второй

части. Часть вторая. Курсы старших классов гимназий и реальных училищ. – М., 1908. –

С. 114.

**Там же, С 116

592. На занятие математического

кружка

учитель

принѐс .копию страницы

учебника

Эйлера

Леонарда

«Универсальная

арифметика», изданного

в 1768

году.

Тексти

страницы касался

применения

логарифмов к

извлечению

просветителе ХVIII

корней. После

рассказа о великом

математикеми

века

учитель

дал

задание:

разработать

алгоритм извлечения

корней

из

те

действительных

чисел,

используя

свойства

логарифмов.

Насколько

разработанный учениками алгоритм отличалсяи

от предложенного в учебнике

Л. Эйлера?

593. Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 2 км, вниз по

течению реки одновременно начи аюти движение соответственно плот и лодка.

тот же

момент из пункта

В унавстречу плоту начинает движение катер.

Собственная скорость лодки равнай

скорости течения,

собственная скорость

катера в

два

раза превышает скорость течения. Встретив

плот, катер

мгновенно разворачива тся и следует до встречи с лодкой, после чего снова

разворачивается и движетсяв

в сторону плота до встречи с ним, затем опять к

лодке и т.д. Сколько саз катер встретит плот за время, в течение которого плот

преодолеет расстояниеа

, равное 1000 км?

594. Ограничение складывания бумаги пополам

физический феномен,

суть которо

состоит в том, что лист обычной бумаги офисного размера

можно сложить пополам не более 7 раз . Объясните, почему?

В 2001 году американка Бритни Гэлливан (англ. Britney Gallivan), тогда школьница,

авывела математическую модель складывания бумаги; кроме того, ей удалось сложить

лист 12 раз, правда достаточно тонкой и гибкой золотой фольги.

24 января 2007 года в 72-м выпуске телепередачи «Разрушители легенд» команда

исследователей попыталась опровергнуть закон. Они сформулировали его более точно: «Даже очень большой сухой лист бумаги нельзя сложить в двое больше семи раз, делая каждый из сгибов перпендикулярно предыдущему». На обычном офисном листе закон подтвердился, тогда исследователи проверили закон на огромном листе бумаги. Лист размером с футбольное поле (51,8×67,1 м) им удалось сложить 8 раз без специальных средств (11 раз с применением катка и автопогрузчика).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.04.2019246.34 Кб61Экономика_1_часть.docx
#
30.08.2019125.44 Кб1экономическая и практика менеджмента 2011.doc
#
29.03.20161.21 Mб26ЭЛ.МАТ.-комбинаторика.pdf
#
22.12.201880.9 Кб25Электр_хим_процессы.doc
#
07.12.2018827.39 Кб12Элементы аналитической геометрии.doc
#
29.03.20161.72 Mб14элмат. алгебра.pdf
#
09.06.20152.75 Mб96ЭЛМАТ.практикум_по_геометрии.pdf
#
09.06.20151.36 Mб11ЭЛМАТ.хрестоматия.pdf
#
11.11.201983.46 Кб8Этика студ.doc
#
23.11.2019347.65 Кб7Эфирные масла2.doc
#
09.06.2015136.7 Кб13Юные лидеры Поволжья.doc