- •Рецензенты:
- •1. Организационно-методический раздел
- •1.1. Цели и задачи изучения дисциплины
- •1.2. Содержание дисциплины
- •Тема 2. Численные методы алгебры
- •Тема 3. Численные методы решений алгебраических и трансцендентных уравнений
- •Тема 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений
- •1.4. Тематические планы
- •5.2. Тематический план практических занятий по курсу «вычислительная математика»
- •2. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
- •2.1. Методические указания по выполнению контрольных работ
- •Тема 1. Методы оценки ошибок вычислений (4 часа).
- •1.Цель занятия
- •2.Контрольные вопросы
- •3. Индивидуальные задания
- •Тема 2. Решение нелинейных уравнений (4 часа).
- •Цель занятия
- •Контрольные вопросы
- •Порядок выполнения работы
- •4. Оформление отчета по работе
- •5. Индивидуальные задания.
- •Тема 3. Решение систем линейных уравнений (4 часа).
- •Цель занятия
- •Контрольные вопросы
- •Порядок выполнения работы
- •4. Оформление отчета по работе
- •5. Перечень дополнительных задач.
- •Тема 4. Интерполяция и экстраполяция (4 часа).
- •Цель занятия
- •Контрольные вопросы
- •Порядок выполнения работы
- •Оформление отчета по работе
- •5. Индивидуальные задания.
- •Тема 5. Численное интегрирование (4 часа).
- •Цель занятия
- •Контрольные вопросы
- •Порядок выполнения работы
- •Задача . Вычислить определенный интеграл по формуле:
- •Оформление отчета по работе
- •5. Индивидуальные задания.
- •Тема 6. Численные методы решения задачи коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (4 часа).
- •Цель занятия
- •2.Контрольные вопросы
- •Порядок выполнения работы
- •Оформление отчета по работе
- •5. Индивидуальные задания
- •2.2. Вопросы для самоконтроля и тесты для проверки знаний студентов Вопросы для самопроверки
- •Тема 1. Методы оценки ошибок вычислений.
- •Тема 2. Решение нелинейных уравнений.
- •Тема 3. Решение систем линейных уравнений.
- •Тема 4. Интерполяция и экстраполяция.
- •Тема 5. Численное интегрирование.
- •Тема 6. Численные методы решения задачи коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •2.3. Основная литература
- •2.4. Дополнительная литература
Тема 3. Решение систем линейных уравнений (4 часа).
-
Цель занятия
Реализация различных методов численного решения систем линейных алгебраических уравнений. Оценка точности и сравнение погрешности численного решения при получении ответа для одной и той же системы уравнений разными методами.
-
Контрольные вопросы
-
К какой категории методов вычислительной математики относится метод Гаусса? Какова структура погрешности результата решения системы линейных уравнений методом Гаусса?
-
В чем заключается прямой и обратный ход в схеме единственного деления?
-
На чем основываются подходы к организации контроля вычислений в прямом ходе, обратном ходе? Какого рода вычислительные ошибки отслеживает этот контроль? Позволяет ли он повысить точность результатов?
-
Как можно использовать невязки для уточнения решения системы, найденного по схеме единственного деления?
-
Какие ограничения на применение простой схемы единственного деления могут накладывать произвольные значения коэффициентов при неизвестных?
-
Почему схемы Гаусса с выборами главного элемента дают более точный результат, нежели простая схема Гаусса (даже в том случае, когда простая схема Гаусса формально применима)?
-
Какие системы линейных алгебраических уравнений называют плохо обусловленными или неустойчивыми?
-
Для каких специфических систем линейных уравнений применяется метод прогонки? На чем основана более высокая эффективность метода прогонки по сравнению с методом Гаусса?
-
Каким образом система линейных уравнений преобразуется к итерационному виду? Какова структура погрешности решения системы линейных уравнений методом простой итерации?
-
В чем состоит отличие метода Зейделя от аналогичного процесса простой итерации?
-
Порядок выполнения работы
-
Решить задачу, в рамках которой проводятся исследования.
Задача. Решить систему линейных алгебраических уравнений
;
-
методом Гаусса;
-
методом Гаусса с выбором главного элемента (по столбцу);
-
методом простых итераций;
-
методом Зейделя;
-
методом релаксации;
-
с помощью вычисления обратной матрицы.
Решение найти с точностью :
где N – номер варианта.
-
Провести тестовые расчеты, варьируя параметр .
-
Провести исследования, оценивая погрешности всех результатов.
4. Оформление отчета по работе
Отчет по работе должен содержать:
-
Постановку задачи.
-
Описание используемых в работе методов численного решения систем линейных алгебраических уравнений.
-
Тексты программ (в случае использования ЭВМ).
-
Результаты расчетов.
-
Анализ результатов.
-
Выводы по работе: сравнение различных методов численного решения систем линейных алгебраических уравнений по точности, простоте реализации и быстроте вычислений.
5. Перечень дополнительных задач.
Решить систему линейных алгебраических уравнений
2.
где .
3.
где .
4. Найти матрицу обратную заданной.