Тема 4. Интерполяция и экстраполяция.

13. В каких случаях может потребоваться аппроксимация функции?

14. Какими критериями пользуются для определения «близости» функции? На каких критериях основываются интерполяция и метод наименьших квадратов?

15. На чем основывается доказательство существования и единственности интерполяционного многочлена для таблично заданной функции?

16. Какой алгоритм вычислений коэффициентов интерполяционного многочлена вытекает из этого доказательства?

17. В какой форме строится интерполяционный многочлен Лагранжа?

18. Как составляется расчетная таблица для ручных вычислений по формуле Лагранжа? Может ли одна и та же таблица использоваться для повторных вычислений (для другого значения аргумента)?

19. Как находятся конечные разности различных порядков через значение функции в узловых точках?

20. Почему первую интерполяционную формулу Ньютона нецелесообразно применять для интерполирования в конце отрезка интерполяции, а вторую – в начале отрезка интерполяции?

21. Как производится оценка погрешности метода интерполяции в следующих случаях: а) интерполируемая функция задана аналитически; б) интерполируемая функция задана таблично?

22. Какой недостаток «кусочного» интерполирования с помощью многочленов Лагранжа и Ньютона устраняется при интерполяции сплайнами?

Тема 5. Численное интегрирование.

11. Почему формула Ньютона – Лейбница может оказаться непригодной для реального вычисления определенного интеграла?

12. Как связаны задачи численного интегрирования и интерполирования?

13. Чем объясняется название формулы трапеций?

14. В чем выражаются преимущества формулы Симпсона перед формулой трапеций?

15. Каким образом при использовании формулы Симпсона можно рассчитывать требуемое число отрезков разбития для достижения заданной точности интегрирования?

16. Каким образом можно произвести оценку точности интегрирования по формулам трапеций и Симпсона, не используя аналитическое выражение подынтегральной функции?

17. Можно ли добиться неограниченного уменьшения погрешности интегрирования путем последовательного уменьшения шага?

18. В чем суть алгоритма двойного счета при интегрировании по формуле Симпсона?

19. Что может послужить препятствием для достижения запрашиваемой точности при использовании метода двойного счета?

20. На какой идее основывается построение квадратурных формул Гаусса?

Тема 6. Численные методы решения задачи коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

8. Что является решением дифференциального уравнения? Что это означает геометрически?

9. На какие основные группы подразделяются приближенные методы решения дифференциальных уравнений?

10. В какой форме получается приближенное решение дифференциального уравнения по методу Эйлера?

11. Что можно сказать о динамике погрешности в пошаговом методе Эйлера?

12. В чем отличие одношаговых методов Эйлера и Рунге-Кутта? Как это различие можно охарактеризовать с графической точки зрения?

13. Как можно реализовать эмпирический критерий оценки точности решения дифференциальных уравнений применительно к численным методам Эйлера и Рунге-Кутта?

14. В чем состоят принципиальные различия между одношаговыми и многошаговыми методами?