Раздел 5. Гравитационное поле

Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. “Черные дыры”. Движение в поле тяготения Земли. Космические скорости.

Законы Кеплера:

1. все планеты вертятся по эллипсу, в одном из фокусов которого Солнце.

2. за любые равные промежутки времени радиус-вектор планеты описывает одинаковую площадь то есть

3. отношение квадратов периода вращения планет к кубу длин больших полуосей одинаков для всех планет: .

Законы Кеплера Закон всемирного тяготения.

Предположим, что все орбиты круговые и так как – это касательная к траектории, то .

, где , так как

, где

согласно третьему закону Кеплера.

Таким образом

. По третьему закону Ньютона: . Следовательно . Таким образом, =>

Ньютон предположил, что , где - гравитационная постоянная.

Таким образом, – закон тяготения между планетами солнца.

– закон всемирного тяготения.

Эта сила прямо пропорциональна произведению их масс, и обратно пропорциональна квадрату расстояний между ними.

Особенности: ,

Таким образом, для небольших высот , тогда , где

,

С точностью решим, что

Принцип эквивалентности масс:

Если есть система, двигающаяся с ускорением   и находящаяся в гравитационном поле, то исследователь, находящийся в этой системе, не может определить, какая часть сил обусловлена силами тяжести, а какая – ускоренным движением системы.

1. Масса гравитации =

2. Эти силы и носят характер притяжения.

3. 

Таким образом,

Полевая теория

Любое тело создает вокруг себя поле – гравитационное поле.

Свойства гравитационного поля:

1. Оно непрерывно распределено в пространстве, проникает в другие поля и вещества.

2. Это поле действует с неокторой силой на все тела, помещенные в это поле.

Напряженность гравитационного поля

1. планету можно заменить точечным телом с такой же массой M.

2. Это поле цетральное (поле центробежных сил.)

То есть поле потенциально, следовательно A зависит только от начальной и конечной точки, а не от траектории.

Тогда

. Тогда

Если

Если

Так как

– потенциал поля относительно бесконечности.

Определим энергии гравитационного поля .

=>

Таким образом, ,

Из формулы из предыдущей лекции получим:

- для электрона

см – совпадает с другим методом вычислений.

Для любого материального объекта

Отсюда:

1. Можно оценить гравитационную энергию объекта. (не хватает по некоторым рассчетам, следовательно существует еще какой то источник энергии в Солнце(даже если включить сюда энергию термоядерной реакции)).

2. Если сравнить гравитационный радиус планеты и истинный радиус . и

Если , следовательно с планеты нельзя излучать никакие виды энергии ( в том числе и свет). То есть, мы эту планету не увидим. Следовательно, возникает ЧЁРНАЯ ДЫРА.

Движение в гравитационном поле

Поставим задачу о движении двух тел:

Имеем два тела: массами и . Одно движется в

гравитационном поле другого от точки отсчета проведены радиус-векторы.

, где - единичный вектор.

Начальные условия: , , еще наложить условия

Вычтем: – последнее решать не будем

Законы сохранения:

Где два последних слагаемых есть , так как L = const по закону сохранения импульса - функция от r часть

Замечания:

1. 

2. но полное не может быть,

1. - для частицы с массой m.

2. Единственное решение движение строго по окружности с .

3. , то существует два решения в некотором интервале

движение по эллипсу.

4. движение по параболе (разомкнута относительно ).

5. движение по гиперболе (разомкнута вообще).

Космические скорости

1. .

Таким образом

То есть первая космическая скорость:

Либо можно посчитать:

2. – у второй космической параболическая траектория

3. Если W > 0 под углом (межпланетные путешествия).