Механика

Раздел 1. Введение

Механический аппарат физики. Векторы и операции с ними

Вектор характеризуется значением и направлением. Любой вектор равен своей длине, умноженной на единичный вектор своего направления:

Вектор есть сумма векторов и , при этом он является диагональю параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.

Вектор есть разность двух векторов и , соединяющий концы вычитаемых векторов, приведенных к одному началу и направленный в сторону уменьшаемого.

Изменение вектора как по величине так и по направлению:

Изменение за :

Умножение векторов:

1. Скалярное произведение:

2. Векторное произведение:

Длина вектора :

Направление вектора : ,

Если смотреть с конца вектора , то направление кратчайшего поворота от первого вектора ко второму против часовой стрелки.

Разложение вектора на составляющие:

Проекция вектора на ось есть число, равное

Если взять ось из декартовой системы координат:

Дифференцирование вектора:

– коллинеарен исходному,

характеризует изменение вектора только по величине (касательная).

– перпендикулярен исходному,

характеризует изменение вектора только по направлению (нормаль).

Момент вектора относительно осей и точки:

1. Момент вектора относительно точки – это вектор

2. Момент вектора относительно оси, проходящей через точку O – это проекция вектора на эту ось.

Раздел 2. Кинематика

Материальная точка. Система отсчета. Траектория. Перемещение и путь. Скорость и ускорение. Тангенциальное и нормальное ускорения. Классификация движения по ускорению. Кинематика прямолинейного и вращательного движений точки. Кинематика колебательного и волнового движений. Примеры, практические задачи.

Движение твердого тела. Степени свободы. Поступательное и вращательное движение твердого тела. Теорема Эйлера о произвольном движении твёрдого тела.

Механическое движение – это перемещение тела в пространстве, относительно других тел.

Предварительно введем следующие упрощения:

1. От реальных тел мы переходим к материальной точке (тело, размерами которого можно пренебречь в условиях нашей задачи)

2. Пусть есть точка O – тело отсчета и есть точка M – тело, которое движется относительно O (тело отсчета неподвижно).

Вектор – радиус-вектор . Если вектор меняется, то точка движется.

Системы отсчета:

1. Векторная система отсчета

1. Зависимость вектора от времени выражена соотношением:

2. Скоростью движения материальной точки мы называем первую производную от радиуса по времени:

3. Ускорением материальной точки мы называем первую производную от вектора скорости по времени (вторую производную от радиуса по времени):

2. Декартова система отсчета

3. Цилиндрическая или полярная система отсчета

Тело отсчета – полюс. Чтобы задать положение относительно

полюса нужны 3 числа:

В цилиндрической системе отсчета удобно описывать движение тела

(материальной точки) по окружности. В этом случае

Тогда положение точки

относительно полюса зависит только от

– определяет движение точки по окружности.

Координаты в различных системах отсчета связываются между собой следующими соотношениями:

Для движения по окружности:

Движение тела в механике можно свести к 4 типам:

1. Поступательное движение – это движение, при котором любая прямая, проводимая в теле остается параллельна самой себе.

2. Вращательное движение.

3. Колебательное движение – это движение, при котором положение тела в пространстве повторяется через равные промежутки времени.

4. Волновое движение – это процесс распространения колебаний в пространстве с течением времени.

Классификация по ускорению

– тангенциальное ускорение

– нормальное ускорение

1. Равномерное прямолинейное движение

Закон движения:

2. Равномерное движение по окружности

Закон движения:

3. Равнопеременное прямолинейное движение (равноускоренное или равнозамедленное)

Закон

движения

4. Равномерное движение по окружности (угловое ускорение)

Закон

движения

5. Колебательное движение

Если ускорение меняется по гармонической функции, то и скорость меняется по гармонической функции: .

Закон гармонического колебания:

6. Волновое движение

Процесс распространения колебаний – волновой процесс.

Волна – процесс в двухмерном пространстве.

• – затуханий нет

• 

• Все частицы начинают двигаться так же как и первая

• Любая частица начнет двигаться с опозданием

– Закон волнового движения

Кинематические уравнения по параметрам – положение, скорость, ускорение:

1. Уравнение поступательного движения:

2. Уравнение вращательного движения:

3. Уравнение колебательного движения:

4. Уравнение волнового движения:

Рассмотрим практические задачи.

Задача 1.

Скорость материальной точки задана уравнениями:

Найти кинетическое уравнение движения и траектории.

1. Запишем условие в векторной форме:

2. Ускорение: движение вдоль какой-то прямой.

3. 

Выберем точкой отсчета: .

Запишем кинетическое уравнение движения:

Тогда уравнение траектории:

Задача 2.

Материальная точка движется со скоростью

Найти траекторию и уравнение движения.

Движение твердого тела

Твердое тело – это совокупность материальных точек, расстояние между которыми в процессе движения остается неизменным.

Степень свободы твердого тела – число независимых переменных, описывающих состояние данной системы.

Для того чтобы “найти” твердое тело в Декартовой системе координат необходимо знать координаты трех его точек, не лежащих на одной прямой.

Поступательным движением твердого тела назовем движение, при котором векторы перемещения материальных точек одинаковы за любой промежуток времени. Или любая прямая, проведенная в теле остается параллельна самой себе.

При поступательном движении достаточно знать закон движения одной точки твердого тела.

Вращательное движение. При вращении вокруг неподвижной оси радиус-векторы точек твердого тела относительно точки отсчета взятой на оси за любые равные промежутки времени совершают вращения на равные углы.

Если взять в качестве координат угол поворота , угол любые точки будут иметь равные скорости и угловое ускорение .

Теорема Эйлера о произвольном движении твердого тела.

Произвольное движение твердых тел может быть представлено суммой двух движений: поступательного и вращательного относительно мгновенной оси.