Раздел 3. Законы динамики

Основная задача динамики. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета. Взаимодействие тел. Сила. Масса и импульс тела. Второй закон Ньютона, и его особенности. Третий закон Ньютона и границы его применимости.

Твердое тело. Момент импульса, момент силы, момент инерции. Уравнение моментов – дифференциальное уравнение движения твердого тела. Уравнения динамики колебательного и волнового движений (волновое уравнение). Примеры, практические задачи.

Динамика изучает движение материальной точки (тел) вместе с причинами, вызывающими это движение.

Первый закон динамики:

Всякое тело движется прямолинейно и равномерно или находится в покое до тех пор и поскольку действие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние движения.

Сила необходима, чтобы изменить состояние движения.

Покой и равномерное прямолинейное движение есть два одинаковых состояния.

Механическое движение всегда относительно.

Первый закон позволяет выбрать инерциальную систему отсчета, то есть такую систему отсчета, в которой свободное тело движется прямолинейно и равномерно или покоится.

Сила – количественная мера действия одного тела на другое.

Импульс .

Второй закон динамики:

Решение данного уравнения содержит в себе уравнение движения материальной точки.

Для твердого тела:

Второй закон в другом виде:

Импульс силы равен изменению импульса тела.

- это уравнение можно решить и получить уравнение движения: .

Силы делятся на:

1. Гравитационные

2. Электромагнитные

3. Сильные внутри

4. Слабые атома

Третий закон динамики:

К каждому действию есть равное и противоположное противодействие. Или тела взаимодействуют с силами, равными по величине и противоположными по направлению.

Границы применения:

Тела меняют положение, следовательно, целый год

Закон не будет действовать.

Но действуют гравитационное поле, если оно

появилось, то спустя некоторое время оно начнет

действовать тогда, когда информация дойдет до других тел.

Пример:

Таким образом, проекция на OO' = 0, а проекция на OO' 0.

Следовательно: - вращения не будет, - вращение будет.

Вращательно движение: – одинаковые .

Возьмем уравнение для одной точки твердого тела: (для i-ой точки).

Перейдем к моменту силы (умножим на ): момент силы .

Таким образом, для i-ой точки , где - момент импульса.

Определим, момент силы для тела:

Следовательно, в скалярной форме для одной точки: .

Таким образом, для тела:

Моментом инерции твердого тела относительно оси мы называем сумму произведений масс материальных точек на квадрат их расстояний до оси: .

Если нам удастся предварительно найти момент инерции I относительно оси, то выражение движения будет описываться:

Тогда произвольное движение по теореме Эйлера будет описываться системой:

Выясним физический смысл двух величин: массы и момента инерции.

Свойства массы:

1. Свойство тела сохранять состояние движения – инерция.

ускорение тем больше, чем меньше масса (тело меняет свое состояние движения тем меньше, чем больше масса). То есть масса определяет меру инерции.

2. m – мера кинетической энергии .

Аналогично, момент инерции является мерой инерции и кинетической энергии:

1. - то есть при одном и том же M изменение состояния движения будет тем меньше, чем больше I. Следовательно, I – мера инерции во вращательном движении.

2. - чем больше момент инерции, тем больше энергия. То есть I – мера кинетической энергии.

Примеры нахождения момента инерции:

1. Масса единицы длины = .

2. Для обруча: - масса единицы длины кольца.

3. Для диска:

4. Для цилиндра:

5. Для шара:

Теорема Штейнера-Гюгенса

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции тела, проходящего через центр масс и параллельного данной и плюс масса тела, умноженная на расстояние между осями в квадрате.

1)

- уравнение движения.

Аналогично с 2) и 3).

Динамика колебательного движения

- запись гармонического колебания, где A – амплитуда, - начальная фаза.

1. Пусть t = 0,

2. - гармоническая функция

3. 

Так как , то - уравнение динамики.

Наибольшее движение совершается, если сила пропорциональна смещению и направлена противоположно смещению .

Уравнение колебаний в канонической форме

Введем на примере:

– динамическое уравнение колебаний в каноническом виде.

- постоянная величина, характеризующая свойства системы. В нашем случае,

Где . Решение уравнения – гармоническая функция:.

- функция начальных условий.

Полное начальное условие: t = 0, .

Пример: пусть = 0. Тогда 0.

Найдем каноническое уравнение математического маятника:

- каноническое уравнение математического маятника

Физический маятник

Запишем уравнение моментов: , .

Колебания – часть вращения.

– дифференциальное уравнение в каноническом виде.

.

Волновое движение

– движение в положительном направлении Ox.

– движение в отрицательном направлении Ox.

Таким образом,

=

– волновое уравнение в канонической форме, где C – характеризует упругие свойства среды и свойства колебательной системы.

Если среда с затуханием, - коэффициент затухания, то