Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Так как числа, участвующие в операциях, могут быть представлены в различных позиционных системах счисления, то для выполнения действий над ними требуется привести их к одной системе счисления. Необходимо отметить, что целая и дробная части числа переводятся отдельно. Следовательно все методы перевода чисел можно подразделить на две группы: перевода целых и дробных чисел.

Перевод целых чисел.

Метод подбора степеней основания. В соответствии с (2) целые числа в системах счисления с основаниями r₁ и r₂ могут быть представлены:

_{n k}

A _r1 = a_i r₁ⁱ = b_j r₂^j = A _r2 ,

_{i=0 j=0}

В общем случае перевод числа из системы счисления с основанием r₁ в систему счисления с основанием r₂ можно представить как задачу определения коэффициентов b_i нового ряда, изображающего число в системе счисления с основанием r₂. Основная трудность в выборе максимальной степени основания r₂, которая еще содержится в числе A_r1. Все действия должны выполняться по правилам r₁-арифметики (то есть исходной системы счисления). После нахождения максимальной степени и соответствующего ей коэффициента необходимо найти коэффициенты для всех остальных (младших) степеней.

Пример: A₁₀=37 , A₂=?

37=1·2⁵ + 0 ·2⁴ + 0 ·2³ + 1·2² + 0 ·2¹ + 1·2⁰=100101

Нечетным двоичным числом 100101 является число, содержащее единицу в младшем разряде.

Метод деления на основание системы счисления. На основании (1) число A_r1 в системе счисления с основанием r₂ запишется в виде:

A_r2 = a_n· r₂ⁿ + a_n-1 ·r₂^n-1 + ... + a₁· r₂¹ + a₀·r⁰.

Переписав это выражение по схеме Горнера, получим:

A_r2 = (...(a_n r₂ + a_n-1) r₂ + ... + a₁) r₂ + a₀.

Разделив правую часть на r₂, получим первый остаток a₀ и целую часть

(...(a_n r₂ + a_n-1) r₂ + ... + a₁). Разделив целую часть на r₂, получим остаток a₁ и новую целую часть. Выполнив деление n+1 раз, получим последнее целое частное a_n < r_2, являющееся старшей цифрой числа.

Пример А₁₀ = 37 ; A₂ = ?; А₅=?

Перевод правильных дробей.

Метод подбора величин, обратных степеням основания.

A₁₀ =0,716

А₂ =0,1011...

Количество разрядов после запятой зависит от точности, с которой требуется представить число.

Метод умножения на основание r₂ новой системы счисления. Из выражения (1) дробное число A_r1 в системе счисления с основанием r₂ запишется в виде

A_r2 = a_-1 r₂^-1 + ... + a_-n r₂^-n.

Переписав это выражение по схеме Горнера, получим:

A_r2 = r₂^-1 (a_-1 + r₂^-1 (a_-2 + ... + a_-n r₂^-1)...).

Умножив правую часть на r₂, получим новую неправильную дробь, целая часть которой есть a_-1 (старшая цифра числа A_r2). Продолжим процесс умножения дробной части на r₂ n-1 раз, получим цифры a_-2, a_-3, . . . числа A_r2.

Процесс умножения может быть прекращен, если во всех разрядах после очередного умножения получены нули, либо достигнута требуемая точность.

Пример A₁₀=0,673 A₂=? A₁₆=?

Для перевода неправильных дробей отдельно выделяется целая и дробная части числа и, используя соответствующие методы, выполняется их перевод. Результаты записываются в виде новой неправильной дроби.