4. Дискретизация и квантование.

Дискретизация - представление непрерывного колебания рядом значений, выбирающихся из непрерывного колебания с определенным шагом по времени. Величина шага выбирается в соответствии с теоремой Котельникова. Впервые она была сформулирована в 1933 г. на первом Всесоюзном съезде по вопросам техники реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности. Эта же теорема за рубежом независимо была доказана Найквистом, Шенноном и Уитеккером[2]. Сущность теоремы сводится к следующему. Если непрерывный сигнал ограничен сверху частотой f_в (верхней частотой), его можно представить в виде ряда дискретных значений, взятых с интервалом по времени

.

(1.117)

Не касаясь метода доказательства этой теоремы, который изложен в [15], приведём достаточное условие разложения, которое сводится к восстановлению непрерывного сообщения:

.

(1.118)

Восстановление непрерывного сообщения, как следует из (1.118), сводится к суммированию бесконечного ряда дискретных отсчетов U(kt) с весовой функцией вида . Как следует из рис. 1.7 , функции в узлах, кратных t, обращаются в 0 все, кроме одной, для которой t₀ = kt. Это означает, что в данных точках ряд (1.118) в узлах вырождается в один член, то есть, в этих точках значения непрерывного сигнала представляются рядом (1.118) абсолютно точно.

В прямом выражении ряд (1.118) не может быть применим, так как необходимы сведения о бесконечном числе точек отсчёта, в том числе о тех отсчётах, которые к данному моменту не наступили. С другой стороны, функции, с помощью которых восстанавливается непрерывное колебание, физически нереализуемы, поскольку представляют собой переходные характеристики идеального фильтра нижних частот (фильтра с П-образной АЧХ). Независимо от этого, свойство представления колебания рядом дискретных отсчётов используется на практике, только формула (1.117) модифицируется:

,

(1.119)

где m>1 - коэффициент запаса, зависящий от способа представления отсчётов и характера восстановления непрерывного колебания.

Процедура представления непрерывного колебания рядом отсчётов называется дискретизацией. Чаще всего на практике используется равномерная дискретизация, при которой t=const. Случаи неравномерной дискретизации будут рассмотрены ниже.

Если возможный диапазон изменения u(t) разбить на конечное множество областей (квантов) с шагом u, а значение u(t) представлять по принципу принадлежности к определённой области, такая процедура называется квантованием. При этом физическую величину заменяют условной записью принадлежности к определённому кванту. В простейшем случае эту функцию выполняют аналого-цифровые преобразователи (АЦП), в которых признак принадлежности к определённому кванту представляется двоичным кодом.

П риведём пример. Предположим, проводится процедура квантования напряжения в диапазоне (0-1) В, и число разрядов АЦП выбрано равным 8. При 8-разрядном двоичном коде можно закодировать 2⁸ = 256 различных квантов (уровней). Абсолютная величина одного кванта в этом случае равна (1/256)0.004В, что определяет погрешность квантования в 0.4%. Тогда, например, амплитуда =0.37В будет представлена кодом 01001010. В принципе этот код можно представить символом в коде ASCII, что не изменяет точности измерения.

Процедуры дискретизации и квантования можно представить в виде временных диаграмм, что представленно на рис. 1.22.

Случаи нелинейного квантования в принципе используются [28], но практически используются редко в связи с большим распространением линейных АЦП, в том числе в интегральном исполнении.