5. Системы счисления и действия в них

5.1 Происхождение систем счисления и представление целых и дробных чисел в ()2, ()8 и ()16

Позиционная система счисления

-система счисления, в которой важную роль играет порядок следования цифр. Значение символа определяет его местоположение. (например, десятичная, основанная на арабских цифрах)

Непозиционная система счисления

-система счисления, в которой значение каждого символа не зависит от его местоположения. (нарпимер, римская система счисления)

Основание позиционной системы счисления - в широком смысле - конечный набор знаков (цифр), для представления чисел.

Десятичная система счисления — система счисления с основанием 10.

Системы счисления у разных народов - разные. Например, у арабов — десятичная (10 пальцев на руках), у французов — 20-ричная (добавляются еще и пальцы на ногах), у саксов и прочих северных — 12-ричная, от Вавилонян — 60-ричная (отсюда 60 секунд в минуте и 60 минут в часе). В России — вообще смесь нескольких систем, хотя основной считается десятиричная.

(а)_р — число а в система счисления с основанием р.

Из различных систем счисления в десятичную целая часть чисел переводится так:

a_mp^m+a_m-1p^m-1+...+a₂p²+a₁p¹+a₀p⁰ (число — (a_ma_m-1...a₂a₁a₀)_p)

дробная часть — так:

b₁p^-1+b₂p^-2+...+b_np^-n (число — (0.b₁b₂...b_n)_p)

В программировании 16-ричное число начинается с Ох или с ОХ, 8-ричное — с О или с о.

Из десятичной системы в другие целая часть числа переводится посредством деления на основание и записи остатков от деления в обратном порядке (последний — в начале, первый — в конце). Дробная часть числа переводится по-другому: дробная часть умножается на основание, целая часть получившегося числа записывается после запятой и обнуляется, а дробная часть снова умножается на основание и так продолжается, пока не получится 0.

Удобнее всего переводить числа из двоичной в 16-ричную и 8-ричную и обратно, так как если разбить двоичное число на четверки начиная от запятой (в обе стороны), каждая четверка будет значить свое 16-ричное число, а если на тройки — свое 8-ричное.

Действия в различных системах счисления — такие же, как и в десятичной, но «десяткой» там является основание системы счисления.

5.2 Информативность системы счисления — замечательное свойство троичной системы счисления.

Информативность системы счисления

-возможность написания большего числа чисел при фиксированном числе знаков.

В десятичной системе счисления от 0 до 999 — 1000 чисел, каждый разряд — 10 знаков (так как всего 10 цифр), получается что 1000 чисел можно записать в 30 знаках.

В двоичной системе счисления в 30 знаках помещается 2¹⁵ чисел, что больше примерно в 32 раза. То есть двоичная система информативнее десятичной.

Наиболее информативной является троичная система счисления:

f(p)=p^n/p=e^{ln(p)*n/p —} число чисел при заданной системе счисления (р) и заданном количестве знаков (n).

f'(p)=p^n/p(-ln(p)*n/p²+n/p*1/p)=p^n/p(1-ln(p))

f'(p)=0: lnp=1 => p=e=2,7182818284... — это вершина графика. Наиболее близная к ней целая точка — это 3, значит 3-ичная система счисления — наиболее информативная.