3. Теорема сложения вероятностей совместимых событий.

Теорема. Вероятность суммы двух совместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). (6)

Доказательство. Пусть из всего числа n элементарных событий k благоприятствуют событию А, l – событию B и m – одновременно событиям А и B. Отсюда событию А + В благопри­ятствуют k + l – m элементарных событий. Тогда

Замечание. Если события A и В несовместимы, то их произведение AB есть невозможное событие, и, следовательно, Р (АВ) = 0, т. е. формула (1) является частным случаем формулы (6).

Пример 1. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны Р(А) = 0,7 и Р(В) = 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение: Очевидно, события А и В совместимы и независимы. Поэтому Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 0,7 + 0,8 – 0,7 ∙ 0,8 = 0,94. Пример 2. Два стрелка стреляют в одну и ту же цель, причем вероятность поражения цели первым стрелком 0,8, а вторым стрелком 0,5. Оба стрелка стреляют по команде (т.е. одновременно) один раз. Какова вероятность, что цель будет поражена хотя бы одним из стрелков?

Решение: Пусть А – попадание в цель первым стрелком, В – вторым стрелком, А + В – поражение цели хотя бы одним стрелком. События А и В совместимы и независимы. Поэтому Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 0,8 + 0,5 – 0,8 ∙ 0,5 = 0,9.

4. Формула полной вероятности.

Пусть событие А может произойти лишь при условии появления одного из n попарно несовместимых событий B₁, B₂, ..., В_n, образующих полную группу событий. События B₁, B₂, ..., В_n, будем называть гипотезами для события А. Тогда

Это формула полной вероятности.

В самом деле, событие А может наступить только при усло­вии наступления одного из событий B₁, B₂, ..., В_n, т. е.

А = В₁А + В₂А + ... + В_nА,

причем, ввиду несовместимости событий B₁, B₂, ..., В_n,, события B₁A, В₂А,..., В_nА также несовместимы. Поэтому на основании те­орем сложения и умножения вероятностей имеем:

Пример. В магазин для продажи поступает продукция трех фабрик, относительные доли которых есть: I – 50 %, II – 30 %, III – 20 %. Для продукции фабрик брак соответственно составляет: I – 2 %, II – 3 %, III – 5 %. Какова вероятность того, что изделие этой продукции, случайно приобретенное в магазине, окажется доброкачественным (событие А)? Решение: Возможны следующие три гипотезы: Н₁, Н₂, Н₃ – приобретенная вещь выработана соответственно на I, II, и III фабриках; очевидно, система этих гипотез полная, причем их вероятности Р(Н₁) = 0,5, Р(Н₂) = 0,3, Р(Н₃) = 0,2. Соответствующие условные вероятности события А равны Р_Н1(А) = 1 – 0,02 = 0,98, Р_Н2(А) = 1 – 0,03 = 0,97, Р_Н3(А) = 1 – 0,05 = 0,95. По формуле полной вероятности имеем Р(А) = 0,5 ∙ 0,98 + 0,3 ∙ 0,97 + 0,2 ∙ 0,95 = 0,971.

5. Формула Байеса.

Пусть в условиях рассуждения, относящегося к формуле полной вероятности, произведено одно испытание, в результате которого произошло событие А. Спрашивается: как изменились (в связи с тем, что событие А уже произошло) вероятности гипотез, т. е. величины P(B_k), k = 1, ..., n? Найдем условную вероятность P_A(B_k). По теореме умножения вероятностей и формуле (4) имеем

Отсюда

Наконец, используя формулу полной вероятности, находим:

Выше обозначенные формулы называются формулами Байеса (Томас Байес, или Бейес, (1702-1761) –английский математик).

Пример. Вероятность поражения самолета при одиночном выстреле для 1-го ракетного расчета (событие А) равна 0,2, а для 2-го (событие В) – 0,1. Каждое из орудий производит по одному выстрелу, причем зарегистрировано одно попадание в самолет (событие С). Какова вероятность, что удачный выстрел принадлежит первому расчету? Решение. До опыта возможны четыре гипотезы Н₁ = АВ, Н₂ = А^В, Н₃ = ^АВ, Н₄ = ^А^В; эти гипотезы образуют полную группу событий. Вероятности их, при независимом действии расчетов, соответственно равны Р(Н₁) = 0,2 ∙ 0,1 = 0,02, Р(Н₂) = 0,2 ∙ 0,9, Р(Н₃) = 0,8 ∙ 0,1 = 0,08, Р(Н₄) = 0,8 ∙ 0,9 = 0,72, причем Р(Н₁) + Р(Н₂) + Р(Н₃) + Р(Н₄) = 1. Условные вероятности для наблюдаемого события С при данных гипотезах будут Р_Н1(С) = 0, Р_Н2(С) = 1, Р_Н3(С) = 1, Р_Н4(С) = 0. Следовательно, гипотезы Н₁ и Н₄ отпадают; а вероятности гипотез Н₂ и Н₃ вычисляются по формуле Байеса

Задание: Установите соответствие между основными понятиями теории множеств и теории вероятностей ((заполните второй столбик).

Теория множеств	Теория вероятностей
Множество
Объединение
Пересечение
Непересекающиеся множества
Дополнение
Универсальное множество
Пустое множество

Ответ:

Теория множеств	Теория вероятностей
Множество	Случайное событие
Объединение	Сумма
Пересечение	Произведение
Непересекающиеся множества	Несовместные события
Дополнение	Противоположное событие
Универсальное множество	Достоверное событие
Пустое множество	Невозможное событие

Семинарское занятие № 6

Основы теории вероятностей

Упражнения для самопроверки

1. Игральная кость подбрасывается три раза. Какова вероятность того, что:

а) шестерка не появится ни разу; б) шестерка появится хотя бы 1раз?

Ответ. а) 0,579; б) 0,421.

2. Из 40 экзаменационных вопросов студент выучил 30. Какова вероятность того, что он ответит: а) на три заданных вопроса; б) на 2 из 3 заданных вопросов?

Ответ. а) 0,411; б) 0,440.

3. Из урны с 5 белыми и 7 черными шарами наугад берут 4 шара. Найти вероятности событий: а) взято 2 белых шара; б) взято белых шаров больше, чем черных.

Ответ. а) 0,424; б) 0,162.

4. Из колоды в 36 карт наугад берут 4 карты. Найти вероятности следующих событий: а) все карты имеют одну масть; б) все карты красные; в) все карты – тузы.

Ответ. а) 0,00856; б) 0,0519; в) 0,0000170.

5. В коробке находятся 6 новых и 2 израсходованные батарейки. Какова вероятность того, что две вынутые из коробки наудачу батарейки окажутся новыми?

Ответ. 15/28.

6. Из урны с 8 белыми и 4 черными шарами последовательно вынимают 3 шара. Какова вероятность вынуть три белых шара?

Ответ. 0,255.

7. В первой урне 4 белых и 6 синих шаров, во второй 5 белых и 3 синих. Наугад из каждой урны берут по 2 шара. Найти вероятности событий: а) все шары белые; б) все шары одного цвета; в) два шара белые.

Ответ. а) 0,0476; б) 0,0833; в) 0,419.

8. Двое поочередно подбрасывают монету. Выигрывает тот, у кого раньше выпадет герб. Какова вероятность выигрыша для каждого из игроков?

Ответ. 2/3 – для начинающего; 1/3 – для второго.

9. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,75. Сколько независимых выстрелов необходимо назначить, чтобы вероятность поражения мишени была больше: а) 0,95; б) 0,99; в) 0,999?

Ответ. а) 3; б) 4; в) 5.

10. Вероятность поражения цели первым стрелком (событие А) равна 0,9, а вероятность поражения цели вторым стрелком (событие В) равна 0,8 Какова вероятность того, что цель будет поражена хотя бы одним стрелком? (решить задачу двумя способами) Решение. 1 способ. Пусть С – событие, заключающееся в том, что в результате испытания цель будет поражена хотя бы одним из стрелков, т.е. произошло или событие А, или событие В, т.е. С = А + В. События А и В совместимы и независимы. Поэтому Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) Р(С) = 0,9 + 0,8 – 0,9 ∙0,8 = 0,98. 2 способ. Пусть С – событие, заключающееся в том, что в результате испытания цель будет поражена хотя бы одним из стрелков, тогда противоположное событие ^С – оба стрелка промахнулись. Тогда ^С = ^А ∙ ^В . Т.к. события ^А и ^В независимые (при стрельбе один стрелок не мешает другому), то Р(^С) = Р(^А) ∙ Р(^В) = [1 – Р(А)]∙[1 – Р(В)] = (1 – 0,9) ∙ (1 – 0,8) = 0,02. Тогда Р(С) = 1 – Р(^С) = 1 – 0,02 = 0,98.

11. В урне 10 шаров. Вероятность того, что 2 извлеченных шара окажутся белыми, равна 2/15. Сколько в урне белых шаров?

12. Вероятность того, что на странице книги могут оказаться опечатки, равна 0,002. Проверяется книга, содержащая 500 страниц. Найдите вероятность того, что с опечатками окажутся 5 страниц.

Вопросы для контроля.

1. Что называется испытанием?

2. Дайте определение события.

3. Как обозначаются события?

4. Дайте определение совместимых событий.

5. Дайте определение несовместимых событий.

6. Дайте определение противоположных событий.

7. Какое событие называется достоверным?

7. Какое событие называется невозможным?

7. Какое событие называется случайным?

8. Что называется вероятностью события А?

9. Вероятность какого события равна 0?

10. Вероятность какого события равна 1?

11. Назовите, какие значения может принимать вероятность события?

12. Что называется суммой событий?

13. Что называется произведением событий?

14. Чему равна сумма несовместных событий?

15. Чему равна сумма совместных событий?

16. Запишите формулу, по которой вычисляется произведение независимых событий.

17. Запишите формулу, по которой вычисляется произведение зависимых событий.

18. Что называется условной вероятностью?

19. Какие события называются независимыми?

20. Чему равна сумма вероятностей противоположных событий?

21. Может ли событие быть одновременно и невозможным и достоверным?

22. Входит ли в понятие суммы событий (А+В) событие, состоящее в одновременном наступлении события А и события В?

Упражнения для самостоятельной работы.

Основы теории вероятностей

1. Из урны с 7 красными и 3 синими шарами берут наугад 5 шаров. Какова вероятность того, что все взятые шары окажутся красными?

2. Брошены 2 игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков не превзойдет 6.

3. Брошены 3 игральные кости. Найти вероятность того, что 2 очка не выпадут ни на одной кости.

4. В урне лежит 8 занумерованных шаров. Наугад берут 4 шара. Найти вероятность того, что среди взятых шаров 3 будут иметь четные номера.

5. Колода из 36 карт раскладывается случайным образом на две части поровну. Какова вероятность того, что все тузы будут в одной части?

6. Набирая номер телефона, абонент забыл три последние цифры. Помня лишь, что все цифры различны, он набирает их наугад. Какова вероятность того, что будут набраны нужные цифры?

7. Имеются 4 ящика, в которые наугад бросают шарики. Всего шариков 4. Какова вероятность того, что все шарики окажутся в одном ящике?

8. 6 студентов условились ехать в одном электропоезде, но не договорились о вагоне. Какова вероятность того, что все поедут в одном вагоне, если в поезде 10 вагонов?

9. Телефонный номер содержит 5 цифр. Какова вероятность того, что все цифры различны?

10. В ящике лежат 16 лампочек, из которых 6 перегоревших. Наугад берут 4 лампочки. Какова вероятность того, что взятые лампы окажутся хорошими?

11. Из урны, содержащей 4 синих, 3 красных и 2 зеленых шара, наугад выбирают 2 шара. Какова вероятность выбрать 2 шара одного цвета?

12. Из партии в 60 деталей, содержащей 5 % брака, наугад выбирают 3 детали. Какова вероятность того, что в выборку попадет не более одной бракованной детали?

13. Из колоды в 32 карты наугад берут 3 карты. Какова вероятность того, что не менее двух карт будут иметь одну масть?

14. В партии 30 деталей, из них 5 нестандартных. Наугад взято 4 детали. Какова вероятность того, что среди взятых деталей более двух стандартных?

15. Из колоды в 52 карты наугад берут 4 карты. Какова вероятность того, что среди взятых карт не меньше двух тузов?

16. В лотерее 30 билетов, из которых 5 выигрышных. Какова вероятность получить более одного выигрышного билета, взяв наудачу 4 билета?

17. Из урны с 4 белыми, 2 синими и 5 черными шарами берут наугад 4 шара. Какова вероятность того, что взятых больше половины шаров окажутся черными?

18. Из урны, содержащей 6 белых и 6 черных шаров, наугад берут 4 шара. Какова вероятность того, что белых шаров окажется больше, чем черных?

19. Из партии в 100 деталей, содержащей 5 % брака, берут для проверки 5 деталей. Партия принимается, если среди проверяемых не более одной бракованной детали. Найти вероятность приема партии.

20. Из ящика, в котором лежат 3 красных, 5 зеленых и 5 синих шаров, наугад берут 3 шара. Какова вероятность того, что выбранные шары не будут одного цвета?