- •Вибірка з генеральної сукупності. Розподіл вибірки. Вибіркові характеристики. Загальні поняття математичної статистики.
- •Надійний інтервал для математичного сподівання ознаки γ нормальним законом розподілу і відомим середньоквадратичним відхиленням.
- •Приклад.
- •Інтервал надійності для оцінки математичного сподівання з нормальним розподілом випадкової величини та не відомим значенням σ.
- •Довірчий інтервал, інтервал надійності оцінки середньоквадратичного відхилення з нормальним законом розподілу.
- •В) .Поняття про умовні варіанти. Метод добутків для знаходження вибіркових середніх і дисперсії.
- •А дисперсія вибірки
- •Складаємо наступну розрахункову таблицю
- •Отже вибрана нами точка-
Складаємо наступну розрахункову таблицю
Xi |
ni |
Ui |
niUi
|
niU²i |
5 |
18 |
- 2 |
- 36 |
72 |
11 |
20 |
- 1 |
- 20 |
20 |
17 |
25 |
0 |
0 |
0 |
23 |
37 |
1 |
37 |
37 |
100 |
- 19 |
129 |
Отже вибрана нами точка-
= 17 ,
= 1/100 ( - 19) = -0,19
= 17 + ( - 0.19)6 = 15,86
S² = 6² ((1/100)129 – ( - 0,19)²) = 45,14
Відмітимо що при обчислені вибіркової дисперсії для зменшення помилки, викликаної групуванням ( особливо при малому числі інтервалів ) роблять поправку Шеппарда і обчислюють дисперсію за формулою
Отже,групування спрощує обчислення, але при цьому, зрозуміло, втрачається деяка інформація, про що свідчить наявність поправки Шепарда.
Г)Багатовимірні випадкові величини.
Нехай є впорядкована система n випадкових величин .Називатимемо її n- вимірною випадковою величиною і позначатимемо так:
Тоді – це i-та випадкова величина. Упорядковану систему з n випадкових величин можна розглядати і як випадкову точку з координатами у n- вимірному евклідовому просторі .
Щоб задати випадковий вектор,потрібно вказати всі ті значення ,яких він може набувати,і ймовірності,з якими ці значення набуваються.Універсальним способом задання випадкового вектора є задання його інтегральної функції розподілу,яка визначається рівністю:
,
Це ймовірність того,що
Зупинимося детальніше на двовимірному випадку.При цьому нехай ,а .Властивості інтегральної функції розподілу двовимірної випадкової величини аналогічні властивостям функції розподілу випадкової величини.Перерахуємо їх.
-
-
Fє неспадна функція по кожній із змінних.
-
,
-
, ,
Двовимірну випадкову величину називають дискретною ,якщо множина значень,яких вона може набути,є скінченною або зліченою.Для задання такої величини досить задати її можливі значення і ймовірності кожного з них : .Закон розподілу такої величини може бути заданий у вигляді таблиці з двома входами
…….. |
………… |
|||||
…….. |
……….... |
|||||
…….. |
………… |
|||||
……. |
……… |
…….. |
…….. |
…….. |
………… |
……… |
…….. |
…………. |
|||||
……… |
………… |
…….. |
…….. |
………… |
………… |
………… |
…….. |
………… |
1 |
Тут використано позначення:
,
З аксіоми адитивності випливає,що
Аналогічно
Таким чином,ймовірності задають розподіл випадкової величини розподіл випадкової величини .При цьому:
Функція розподілу випадкового вектора визначається рівністю
Де сумування поширюється на всі ,для яких а k набуває усіх значень, для яких .
Приклад 1.Якість продукції характеризується двома випадковими параметрами і .Закон розподілу двовимірної випадкової величини задано таблицею :
5 |
6 |
7 |
||
0 |
0,2 |
0 |
0 |
0,2 |
0,1 |
0,1 |
0,15 |
0 |
0,25 |
0,2 |
0,05 |
0,15 |
0,1 |
0,3 |
0,3 |
0,05 |
0,1 |
0,1 |
0,25 |
0,4 |
0,4 |
0,2 |
1 |
Знайти закони розподілу випадкових величин i .
Доповнимо таблицю рядком і стовпчиком зі знаком ,провівши сумування величин відповідно по рядках і стовпчиках.Тоді очевидно,що закони розподілу випадкових величин i мають вигляд:
5 |
6 |
7 |
|
|||||||||
p |
0,4 |
0,4 |
0,2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
|
p |
0,2 |
0,25 |
0,3 |
0,25 |
Двовимірну випадкову величину називають неперервною,якщо існує така функція p ,що функція розподілу F даної випадкової величини може бути подана у вигляді
Функцію називають щільністю розподілу випадкового вектора .При цьому:
У точках неперервності функції p.
Щільність розподілу має такі властивості:
-
;
-
.
Знаючи щільність розподілу p двовимірної величини ,легко знайти щільності розподілу для її компонент та .Справді,
Звідки
Аналогічно
І
Нехай задана дискретна двовимірна випадкова величина .Розглянемо функцію розподілу випадкової величини за умови , що набула значення , .Цю функцію позначають .Імовірність того,що набуває значення ,коли набуло значення ,дорівнює
Аналогічно
У випадку неперервного розподілу вектора з’являються умовні щільності роз поділу ,коли , і , коли .Можна довести,що
Випадкова величина називається незалежною від випадкової величини ,якщо розподіл не залежить від того,якого значення набула випадкова величина .Аналогічно визначається незалежність від .Якщо величини і незалежні,то (дискретний розподіл) і (неперервний розподіл).
Приклад 2.Нехай щільність розподілу двовимірної випадкової величини
Знайти функції розподілу випадкового вектора ,випадкових величин і ,умовні щільності розподілу.
Спочатку доведемо коректність означення випадкового вектора :
-
,що очевидно.
-
Знайдемо функцію розподілу даного випадкового вектора :
Для всіх інших точок (x,y) F(x,y)=0 .Очевидно,що при x<0, бо не набуває від’ємних значень ;якщо x>0 ,то:
Далі
.
Аналогічно і .