- •Вибірка з генеральної сукупності. Розподіл вибірки. Вибіркові характеристики. Загальні поняття математичної статистики.
- •Надійний інтервал для математичного сподівання ознаки γ нормальним законом розподілу і відомим середньоквадратичним відхиленням.
- •Приклад.
- •Інтервал надійності для оцінки математичного сподівання з нормальним розподілом випадкової величини та не відомим значенням σ.
- •Довірчий інтервал, інтервал надійності оцінки середньоквадратичного відхилення з нормальним законом розподілу.
- •В) .Поняття про умовні варіанти. Метод добутків для знаходження вибіркових середніх і дисперсії.
- •А дисперсія вибірки
- •Складаємо наступну розрахункову таблицю
- •Отже вибрана нами точка-
Довірчий інтервал, інтервал надійності оцінки середньоквадратичного відхилення з нормальним законом розподілу.
Нехай випадкова величина Х має нормальний закон розподілу. Нехай приведено вибірку об’ємом “n” і отримане, виправлене, значення вибіркового середньо квадратичного відхилення S. Точне його значення “σ” нам невідоме. Необхідно встановити інтервал надійності, в який ,з імовірністю γ ,потрапляє величина σ генеральної сукупності.
P(|σ - S|<δ)=γ (1)
У співвідношені (1) γ,S –відомі, задані значення. Не відома величина “ δ ”, бо вона, власне, і визначає інтервал S-δ< σ < S+δ. (1’)
Для цього представимо нерівність інтервалу (1’) у вигляді S(1-) < σ < S(1+).
Введемо змінну q= , яка містить невідоме значення . Тоді S(1-q) < σ < S(1+q). Невідомим є “q”. Побудуємо випадкову величину:
,де “n” об’єм вибірки.
Виявляється, що задана випадкова величина задовольняє хі- квадрат () розподілу, густина розподілу,щільність якого описується функцією
R(x,n)=( (2)
Як бачимо, дана функція залежить виключно від об’єму вибірки “n”.
Шуканий інтервал для знаходження , може бути заданий еквівалентним (1) виразом
<<;
<< (3)
це наша випадкова величина , яка задовольняє рівносильній нерівності
. Тоді відповідне, рівносильне (1) рівняння набуде вигляду
(4)
Із заданого рівняння, по значеннях n і γ, знаходимо “ ” із таблиці 4 Гмурман. А отже встановлюємо інтервал надійності для σ,а саме:.
S(1-q) < σ < S(1+q)
По експериментальному вибірковому набору значень випадкових величин,їх числових характеристик із заданою надійністю γ можна встановити відповідні характеристики генеральної сукупності.
В) .Поняття про умовні варіанти. Метод добутків для знаходження вибіркових середніх і дисперсії.
Нехай зроблена вибірка дає числові значення параметра ,які ми розмістили в порядку зростання ( параметра ) тобто організували варіаційний ряд. Якщо число членів вибірки велике, а числові значення параметра знаходяться між “ а і в ” то можно розбити інтеграл ( а, в ) на “ к ” однакових частин, середини яких позначимо через . Число значень, що потрапили в “і” інтервал ’’ ”. Тобто встановлюється впорядковані пари
Тоді можна провести обчислення математичного сподівання та дисперсії вибірки
X=1/n∑ , де “n” розмір вибірки n= ∑ ni
S² = 1/n∑ - ( )²
Часто числа досить громіздкі, взагалі кажучи не цілі числа. Тому для обчислення суми застосовують метод умовних варіант, метод добутків.
Нехай один із інтервалів, який, для зручності вибирають приблизно посередині інтервалу ( а,b). Бажано, щоб на цьому інтервалі було найбільшим, але дана умова не є обов‘язковою.
Введемо умовні варіанти
Ui = i- , h = (b – a)/k - крок розбиття.
Тоді, довільне значення параметра можна представити:
; ,де i = 1… k
Тоді:
Тоді:
Тоді:
, де
А дисперсія вибірки
,де
Ці формули зручні тим, що умовні варіанти “ ” є цілими числами,бо задають номер інтервалу.
Приклад. За допомогою умовних варіантів обчислити x, і S² для вибірки, якщо розподіл вибірки n = 100 має вигляд:
Xi |
2 |
3 |
7 |
9 |
11 |
12,5 |
16 |
18 |
23 |
25 |
26 |
ni |
3 |
5 |
10 |
6 |
10 |
4 |
12 |
13 |
8 |
20 |
9 |
Розіб‘ємо відрізок 2 – 26 на такі 4 – відрізки з кроком h=6 ; відрізки [2,8); [ 8, 14); [ 14, 20); [ 20, 26] взявши середини відрізків за нові значення випадкової величини отримаємо:
x1 =5, x2 =11, x3 = 17, x4 = 23,
При цьому таблиця зменшиться.
Xi |
5 |
11 |
17 |
23 |
ni |
18 |
20 |
25 |
37 |
18+20+25+37=100