Тема 8. Функции нескольких переменных

30. Функции нескольких переменных. Область определения. Пределы функции. Непрерывность. Частные производные, полный дифференциал. Дифференцируемость функции.

31. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Производные сложных функций.

32. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функций нескольких переменных. Неявные функции, теорема существования. Дифференцирование неявных функций.

33. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Метод наименьших квадратов. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Примеры применений при поиске оптимальных решений.

Тема 9. Интегральное исчисление функций нескольких переменных

34. Задачи, приводящие к понятиям кратных, криволинейных и поверхностных интегралов. Интеграл по фигуре и его общие свойства. Двойной интеграл, его свойства и вычисления в декартовой и полярной системах координат.

35. Тройной интеграл, его свойства и вычисления в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

36. Криволинейные и поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода, их свойства и вычисление. Их приложения, формулы Грина, Стокса, Остроградского- Гаусса.

Тема 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ду) и системы дифференциальных уравнений (сду)

37. Физические задачи, приводящие к ДУ. ДУ с разделяющимися переменными. ДУ первого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

38. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах (уравнения в полных дифференциалах, однородные ДУ, уравнения Бернулли и т.д.).

39. ДУ высших порядков. Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка. Приложения к решению задач о 2-й космической скорости, движении физического маятника. Понятие о краевых задачах для ДУ.

40. Линейные ДУ, их общие свойства. Линейные ДУ с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Метод Лагранжа.

41. Системы ДУ (СДУ). Нормальные системы ДУ, свойства их решений. Задача Коши. Линейные СДУ. Методы их решения. Автономные системы. Свойства их решений. Фазовые пространства, плоскость, фазовая кривая. Простейшие численные методы решения ДУ и СДУ.

42. Понятие о качественных методах исследования ДУ и СДУ. Понятие об устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову. Устойчивость решения системы ДУ с постоянными коэффициентами.

Тема 11. Теория рядов

43. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами. Методы исследования сходимости рядов. Теоремы сравнения. Признак Даламбера. Признак Коши. Интегральный признак сходимости.

44. Знакопеременные ряды, их свойства. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.

45. Функциональные ряды, область сходимости, свойства функциональных рядов. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.

46. Степенные ряды. Радиус сходимости. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях. Ряды Тейлора для функции нескольких переменных.

47. Ряды Фурье. Основная тригонометрическая система функций. Разложение функций в ряд Фурье (периодических, непериодических, четных, нечетных).

48. Приложения рядов Фурье. Достаточные условия сходимости тригонометрических рядов Фурье.