4. Примеры решения задач контрольных работ
4.1. Решение типового варианта контрольной работы №1
Задача 1.1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений
Совместность
данной системы проверим по теореме
Кронекера-Капелли. С помощью элементарных
преобразований расширенную матрицу
приведем к трапециевидной форме
~
~
.
Следовательно,
(числу неизвестных системы). Значит,
исходная система совместна и имеет
единственное решение.
а).
По формулам Крамера:
где
.
Находим
.
б).
С помощью обратной матрицы
где
- обратная матрица к
,
-
столбец правых частей.
.
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Решение системы
,
т.е.
.
в). Наша система эквивалентна
(прямой
ход Гаусса совершен при нахождении
рангов матриц
и
).
Тогда
Задача 1.2. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений
С
помощью элементарных преобразований
матрицу
приведем к трапециевидной форме
~
.
Следовательно,
2<3
и система имеет бесконечное множество
решений, зависящих от 3-2=1 произвольной
постоянной. Исходная система эквивалентна
Откуда
.
Полагая
(произвольной постоянной), имеем
,
.
Задача
1.3. По координатам точек
,
,
найти:
а).
Модуль вектора
;
.
б).
Скалярное произведение векторов
и
.
.
в).
Проекцию вектора
на вектор
.
.
г).
Координаты точки
,
делящей отрезок
в отношении 1:3;
.
Следовательно:
Задача
1.4. Даны векторы
Необходимо:
а).
Найти модуль векторного произведения
.
=
;
.
б).
Проверить, будут ли коллинеарны или
ортогональны два вектора
и
.
Условие
коллинеарности двух векторов
Т.к.
то вектора
и
неколлинеарны.
Условие
ортогональности двух векторов
Т.к.
то вектора неортогональны.
в). Вычислить смешанное произведение трех векторов
.
.
г).
Проверить, будут ли компланарны три
вектора
Вектора
компланарны, если
Из
пункта в)
следовательно, эти векторы некомпланарны.
Задача
1.5. Даны четыре точки
Составить уравнения:
а).
Плоскости
Уравнение плоскости по трем точкам имеет вид
,
откуда
.
б).
Прямой
Уравнение прямой по двум точкам
откуда
в).
Прямой
,
перпендикулярной к плоскости
.
Из
уравнения плоскости
следует, что вектор
||
откуда уравнение
имеет вид
г).
Прямой
,
параллельной
Значит, вектор
и уравнение этой прямой имеет вид
д).
Плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно к прямой
Вектор
перпендикулярен искомой плоскости.
Значит,
- ее уравнение, которое приводится к
виду
е).
Вычислить
- угла между прямой
и плоскостью
.
;
;
.
ж).
Косинус угла между координатной
плоскостью
и плоскостью
.
Вектор
а вектор
.
Поэтому
.
Задача
1.6. Составить уравнение плоскости,
проходящей через точки
и
параллельно прямой, проведенной через
точки
и
Найти
вектор
,
перпендикулярный искомой плоскости.
Вектор
и
следовательно, в качестве вектора
можно взять
;
;
Тогда
уравнение искомой плоскости
которое приводится к виду
Задача
1.7. Найти уравнение прямой, проходящей
через точку пересечения прямых
и
перпендикулярно первой прямой. Найдем
точку
:
Вектор
параллелен искомой прямой. Поэтому ее
уравнение запишем как
оно приводится к виду
Задача 1.8. Определить вид поверхности и построить ее.
а)
.
Приведем уравнение к каноническому
виду
Получим
уравнение однополостного гиперболоида,
ось которого совпадает с
полуоси эллипса в плоскости Y0Z равны
и
Построим поверхность.
Z
Y
X
б)
Приведем
уравнение к каноническому виду
.
Это уравнение конуса второго порядка, ось которого совпадает с осью 0Z.
Z
Y
X