Тема 4. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

12. Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей.

13. Кривые второго порядка. Приложения геометрических свойств кривых в технике.

14. Уравнения алгебраических поверхностей 2-го порядка. Их простейшие свойства. Технические приложения геометрических свойств поверхностей. Полярная система координат. Цилиндрическая и сферическая системы координат. Различные способы задания линий и поверхностей на плоскости и в пространстве.

15. Матрицы, операции над ними. Элементарные преобразования матриц. Определители 2-го и высших порядков; их вычисление. Обратная матрица. Решение невырожденных линейных систем.

16. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

17. Линейное векторное пространство. Пространства R², R³, Rⁿ. Скалярное произведение векторов. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональный базис. Линейные операторы. Собственные значения и собственные векторы. Классификация операторов (сопряженные, самосопряженные, ортогональные).

18. Векторы в пространстве R², R³, Rⁿ. Операции над ними. Их свойства. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы. Длина вектора. Примеры использования понятия вектора (определение координат центра масс).

19. Скалярное произведение векторов, его свойства. Длина вектора, угол между векторами в координатной форме. Условие ортогональности. Механический смысл скалярного произведения. Векторное произведение, его свойства. Условие коллинеарности двух векторов. Геометрический смысл определителя 2-го порядка. Вычисление векторного произведения. Простейшие приложения векторного произведения в науке и технике: моменты сил, скорость точки вращающегося тела, направление распространения магнитных волн.

20. Смешанное произведение векторов. Геометрический смысл определителя 3-го порядка. Условие компланарности.

21. Свойство собственных значений и собственных векторов самосопряженного линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора, координат вектора при переходе к новому базису.

22. Линейные и квадратичные формы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования.

Тема 5. Элементы высшей алгебры

23. Комплексные числа. Операции над ними, их свойства. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная формы записи комплексного числа. Формула Эйлера. Корни из комплексных чисел. Формула Муавра.

24. Многочлены. Алгебраические уравнения. Основная теорема алгебры. Канонические представления многочлена. Разложение рациональных дробей на простейшие.

Тема 6. Неопределенный интеграл

25. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Методы интегрирования. Интегрирование рациональных функций.

26. Интегрирование иррациональных выражений. Подстановки Эйлера. Интегрирование тригонометрических выражений.

Тема 7. Определенный интеграл

27. Определенный интеграл, его свойства. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Формула Ньютона- Лейбница. Ее применение для вычисления определённых интегралов.

28. Методы вычисления определенного интеграла. Приближенные методы вычисления определенных интегралов (по формулам прямоугольника, трапеции, Симпсона).

29. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Их основные свойства. Теоремы сравнения.