- •Определители n-го порядка.
- •Обратная матрица.
- •Система n линейных уравнений с n неизвестными.
- •Произвольная система линейных уравнений.
- •Линейные операции над векторами в координатной форме.
- •Линейное пространство
- •Размерность и базис линейного пространства
- •Скалярное произведение векторов
- •Скалярное произведение в координатной форме
- •Векторное произведение векторов.
- •Векторное произведение в координатной форме
- •Смешанное произведение векторов.
- •Аналитическая геометрия Простейшие задачи аналитической геометрии
- •Полярная система координат
- •Формулы преобразования системы координат
- •1. Параллельный перенос
- •Поворот осей координат
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Нормальное уравнение прямой
- •Расстояние от точки до прямой
- •Нормальное уравнение прямой
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Угол между двумя прямыми в пространстве
- •Асимптоты гиперболы
- •Эксцентриситет гиперболы, фокальные радиусы гиперболы
- •Парабола
- •Общие свойства кривых второго порядка
- •Приведение общего уравнения второго порядка к каноническому виду
Расстояние от точки до прямой
Дано: прямая l задана нормальным уравнением в векторной форме Требуется найти расстояние от точки до прямой.
Возможны 2 случая:
-
т. М0 и начало координат лежат по разные стороны от прямой
-
т. М0 и начало координат лежат по одну сторону от прямой
Рассмотрим 1 случай.
соединим и 0 - радиус вектор точки М0
Опустим из точки перпендикуляр на l, обозначим точкой K(x,y)
- расстояние от точки до прямой. Соединим точку О с точкой K, получим - радиус-вектор точки К.
Из треугольника ОМ0К видно, что
с одной стороны, а с другой стороны
, а так как точка К принадлежит l, значит, координаты ее радиус вектора координаты удовлетворяют уравнению подставляем и получаем по свойству скалярного произведения , отсюда - расстояние от точки до прямой
Во втором случае - общий случай
- расстояние от точки до прямой в координатной форме.
- отклонение точки от прямой
Если Δ>0, то и 0 лежат по разные стороны от прямой
Если Δ<0, то по одну сторону от прямой
Вывод.: чтобы найти расстояние от точки до прямой, нужно уравнение привести к нормальному виду и подставить вместо х и у координаты заданной точки.
Пр.: 12х+15у+9=0
Каноническое уравнение прямой.
Параметрическое уравнение прямой.
Дано: прямая l, такая что , , - направляющий вектор прямой l, возьмем произвольную точку M на прямой l и рассмотрим ,так как ,то и коллинеарные, следовательно их коэффициенты пропорциональны.
- каноническое уравнение прямой
- параметрическое уравнение прямой, t – параметр.
Уравнение прямой проходящей через две заданные точки
Дано: прямая l, и Возьмем точку и рассмотрим два вектора и - эти вектора коллинеарны, следовательно коэффициенты пропорциональны
- уравнение прямой проходящей через две заданные точки
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- угловой коэффициент
-уравнение прямой с угловым коэффициентом
Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку
Возьмем (1), и т.к. точка , то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой: (2), из (2) вычтем (1), получаем: - уравнение прямой, проходящей через заданную точку.
Угол между двумя прямыми
и - угловой коэффициент
так как - внешний угол, то
Условие параллельности двух прямых
=0 -условие параллельности прямых
Условие перпендикулярности двух прямых
- условие перпендикулярности двух прямых
Уравнение пучка прямых
Дано: две пересекающиеся прямые 1:, пусть т. М0 (x0, y0) точка пересечения, тогда (*)
Первое уравнение умножим на , второе – на и сложим:
- это уравнение определяет прямую Покажем, что она проходит через точку М0 (x0, y0):
- см. (*).
Таким образом, - уравнение пучка прямых.
Разделим обе части на :
уравнение пучка прямых -
Уравнение плоскости в пространстве
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей нормальный вектор
Дано: плоскость Р,
Написать уравнение прямой.
Возьмём точку произвольная точка и рассмотрим вектор
; раскроем скобки
- уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей нормальный вектор. Раскроем скобки:
- общее уравнение плоскости
- уравнение плоскости в отрезках
Неполные уравнения плоскости
- дано общее уравнение плоскости;
1. представляет собой плоскость, проходящую через начало координат;
2. - представляет собой плоскость, параллельную оси ОZ, так как вектор
Аналогично, если В=0, то плоскость параллельна ОУ, если А=0, то плоскость параллельна ОХ.
3. - с одной стороны, плоскость параллельна ОХ, так. как А=0, с другой стороны плоскость проходит через начало координат, следовательно, плоскость проходит через ось ОХ;
Аналогично, если B=0, D=0, то плоскость проходить через ось ОУ;
если C=0, D=0, то плоскость проходит через ось ОZ.
4. Если B=0, C=0, то плоскость параллельна как оси ОУ, так оси OZ, следовательно, она параллельна координатной плоскости YOZ;
Аналогично, если A=0,B=0, то параллельна плоскости XOY;
если A=0, C=0, то плоскость параллельна плоскости XOZ.
5. A=0,B=0, D=0, следовательно Z=0 – плоскость XOY;
B=0,C=0, D=0,следовательно X=0 – плоскость YOZ;
A=0, C=0, D=0, следовательно Y=0 – плоскость XOZ.